?Q(?,?,?)(?S)??Q(x,y,z)dzdx?lim??n?0iiiizx
i?120对坐标的曲面积分的计算法
（1）利用基本公式计算
把??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy化为
???P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy三个积分来求。
???1）求??R(x,y,z)dxdy时，必须把积分曲面?的方程化为z?z(x,y)，把?向
?xOy面投影，设投影区域为Dxy，则有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy
?Dxy?取上侧为正，取下侧为负。
注意：z?z(x,y)必须是单值函数，否则把积分曲面进行分割。
2）求??P(x,y,z)dydz时，必须把积分曲面?的方程化为x?x(y,z)，把?向
?yOz面投影，设投影区域为Dyz，则有
??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz
?Dyz?取前侧为正，取后侧为负。
注意：x?x(y,z)必须是单值函数，否则把积分曲面进行分割。
3）求??Q(x,y,z)d必须把积分曲面?的方程化为y?y(z,x)，把?向zdx时，
?zOx面投影，设投影区域为Dzx，则有
??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx
?Dzx?取右侧为正，取左侧为负。
注意：y?y(z,x)必须是单值函数，否则把积分曲面进行分割。 （2）利用高斯公式
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当?为闭曲面或添加一片有向曲面?1就成为闭曲面且在?1上积分易求，可利用高斯公式。
（3）利用两类曲面积分间的关系 当积分曲面为平面时，可利用两类曲面积分间的关系，把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分。 三、三个重要公式 1、格林公式
定理1 设闭域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy （*） ?x?yL其中L是D的取正向的边界曲线。
2、高斯公式
定理2 设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成，函数P(x,y,z)、
Q(x,y,z)、R(x,y,z)在?上具有一阶连续偏导数，则有
???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy （1） ?x?y?z??P?Q?R??)dv???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS （2） ?x?y?z?或 ???(?这里?是?的整个边界曲面的外侧，cos?、cos?、cos?是?上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦
4、多元函数的全微分求积
1、设Pdx?Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分，则有
u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dy
x0yy0xy或 u(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dx
y0x0x2、设Pdx?Qdy?Rdz为某三元函数u(x,y,z)的全微分，则有
u(x,y,z)??P(x,y0,z0)dx??Q(x,y,z0)dy??R(x,y,z)dz
x0y0z0xyz 5、几个基本概念
设某向量场由A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k给出，其中P、
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Q、R具有一阶连续偏导数，?是场内的一片有向曲面，n是?在点(x,y,z)处的
单位法向量则
（1）??A?ndS叫做向量场A通过曲面?指定侧的通量（或流量）。
?（2）
?P?Q?R??叫做向量场A的散度，记作divA。 ?x?y?z（3）向量rotA?(?R?Q?P?R?Q?P?)i?(?)j?(?)k叫做向量场A的旋?y?z?z?x?x?y度。（4）积分?Pdx?Qdy?Rdz叫做向场A沿有向闭曲线?的环流量。
?二、典型习题
1、利用格林公式计算下列曲线积分?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy?
l（ ），其中l为(0,0),(3,0),(3,2)以为顶点的三角形的正向。 A． 0； B. 6； C. 12； D. 4。 2、已知I??(x?2y?4)dx?(2x?3y?5)dyL，其中L为三顶点为
(0,0),(2,0),(2,3)的三角形的正向边界，则 ( ).
A. 8， B. 12， C. 6， D. 0. 3、已知曲线积分
??L(x?ay)dx?(y2?x)dy与路径无关，则a?（ ）.
A．0； B．1 ； C．?1 ； D．2． 4、已知曲线积分
L(x?ay)dx?(y2?x)dy与路径无关，则a?（ ）.
A．0； B．1 ； C．?1 ； D．2． 5、设
L为取正向的圆周
x2?y2?9，则曲线积分
?
L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy? .
6、L为连接A(0,1),B(1,0)两点的直线段, 则
7、设L是抛物线x?y2?L(x?y)ds? .
上由点A(4,2)到点B(4,?2)的一段弧，则
?
L2xydx?x2dy? .
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8、设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
9、证明下列积分与路径无关，并计算积分值：
10、计算曲线积分
?2xydx?xL2dy?0．
?(2,3)(1,1)(x?y)dx?(x?y)dy。
?x?costxyds，为圆在第一象限的部分． L??Ly?sint?11、计算?2xydx?x2dy，其中L为：
L⑴ 抛物线y?x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧； ⑵ 抛物线x?y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；
⑶ 有向折线OAB，这里O,A,B依次是点(0,0),(1,0),(1,1)。
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