30．（2014?卢湾区校级模拟）已知椭圆象限内的一点，并满足
的两焦点分别为F1，F2，P是椭圆在第一
，过P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于
A，B两点．
（Ⅰ）求P点坐标；
（Ⅱ）当直线PA经过点（1，）时，求直线AB的方程； （Ⅲ）求证直线AB的斜率为定值．
第9页（共57页）
2015年12月07日博强教育的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2014秋?安徽月考）已知椭圆C：
+
=1（{a＞b＞0}）的离心率e=
，且由椭圆
上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2 是否为定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．
【考点】圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程； （Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种情况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，
求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．k1+k2 为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=8，b=4，
22
所以椭圆C的方程为=1．…5分
（Ⅱ）k1+k2 为定值4，证明如下：…6分
（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=﹣1，
由方程组 易得，，
于是k1=，k2=
，
所以k1+k2=4为定值．…8分
（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣（﹣2）=k[x﹣（﹣1）]，即y=kx+k﹣2， 设A（x1，y1），B（x2，y2），
第10页（共57页）
2
2
2
由方程组，消去y，得（1+2k）x+4k（k﹣2）x+2k﹣8k=0，
由韦达定理得（*） …10分
∴k1+k2=
=
=
=2k+（k﹣4）?，
将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值．…13分．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．
2．（2014?河北）已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F是
椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得
2
，可得c．又，b=a
22
﹣c，即可解得a，b； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为
，
第11页（共57页）
∴又
，解得c=
2
2
2
．
，b=a﹣c，解得a=2，b=1．
；
∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2． 联立
2
2
，
2
化为（1+4k）x﹣16kx+12=0，当△=16（4k﹣3）＞0时，即
，
∴|PQ|=
．
时，
=
=，
点O到直线l的距离d=．
∴S△OPQ=设∴
=
2
2
，
＞0，则4k=t+3， =
=1，当且仅当t=2，即
，解得
时取等号．
满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．
【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根
与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．
3．（2015?浙江）已知椭圆
上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．
第12页（共57页）
