参考答案
? 求二面角
分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解：
在RtΔSAC中，SA=1，SC=2， ∴∠ECA=30?，
在RtΔDEC中，∠DEC=90?， ∴∠EDC=60?，
∴ 所求的二面角为60?。
? 求线线距离 解法1：（直接法）如图：
取BC的中点P，连结PD、PB1分别交AC、BC1于M、N两点， 易证：DB1//MN，DB1?AC，DB1?BC1．
13MN?DB1?aBCMNAC33． 1的公垂线段，易证：∴为异面直线与
小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．
解法2：（转化法）如图：
∵AC//平面A1C1B，
∴AC与BC1的距离等于AC与平面A1C1B的距离，
1中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离， 在Rt?OBOOB?∵
2a2，OO1?a，
OO1?OB33OE??aO1B?aO1B3． 2，∴∴
小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．
解法3：（转化法）如图：
1//平面A1C1B， ∵平面ACD1与平面A1C1B的距离． ∴AC与BC1的距离等于平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分； ∵DB1?平面ACD13B1D?a33∴所求距离为．
小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．
解法4：（构造函数法）如图：
任取点Q?BC1，作QR?BC于R点，作PK?AC于K点，设RC?x，
222则BR?QR?a?x，CK?KR，且KR?CK?CR
KR2?∴
11CR2?x222． 12x?(a?x)22
QK2?则
?3211(x?a)2?a2?a22333，
3aBCQKAC1的距离等于3故的最小值，即与．
小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距
离． 解法5：（体积桥法）如图：
当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h， 则
VC?A1C1B?VA1?BCC1．
1311h?(2a)2??a?a2432， ∵3h∴
33aa3．即AC与BC1的距离等于3．
小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这
种方法在后面将要学到．
? 线面平行 例：
分析1：如图，观察图形，即可判定SG//平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行．
观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H，连结FH，FH就是适合题意的直线． 怎样证明SG//FH？只需证明H是CG的中点． 证法1：连结CG交DE于点H， ∵DE是?ABC的中位线， ∴DE//AB．
在?ACG中，D是AC的中点，且DH//AG， ∴H为CG的中点．
∵FH是?SCG的中位线，∴FH//SG． 又SG?平面DEF，FH?平面DEF， ∴SG//平面DEF．
分析2：要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF，要证明平面DEF//平面SAB，只需证明
SA//DF，SB//EF而SA//DF，SB//EF可由题设直接推出．
证法2：∵EF为?SBC的中位线， ∴EF//SB．
∵EF?平面SAB，SB?平面SAB， ∴EF//平面SAB．
同理：DF//平面SAB，EF?DF?F，
