R=2k?，求vR(t)及其有效值VR。
解：由傅立叶展开式得：
V0?2?Vm?197V，
??4V??900?132??900V， V??26??900V V2m42322 v Vm
0 L +- +?V2- ?4+V- ?6+V- V0 v C R vR C R vR t T （a） （b） （c）
图3-49 例3-12图
图3-49（c）为其等效电路图。对直流分量来讲，L相当于短路，C相当于开路， 所以：VRo?V0?197V
R//1j2?C。??对二次谐波来说 VR21j2?L?R//j2?CV2?2.242?91.5?V
则 vR2?2.24sin(2?t?91.5?)V
?对四次谐波 VR41。j4?C0.11?V4??90.9?V
12j4?L?j4?CR//（4?t?90.9?）则 vR4?0.11sinV
将上述结果叠加
得：vR(t)?vR0?vR2?vR4???
?197?2.24sin(2?t?91.5?）?0.11sin（4?t?90.9?）???V 有效值：VR?VR0?VR2?VR4??? ?1972?(
2222.242)2?(0.112)2???≈197V
３.4 三相交流电路
电力输配电系统中使用的交流电源绝大多数是三相制系统。前面研究的单相交流电也是由三相系统的一相提供的。之所以采用三相系统供电，是因为在发电、输电以及电能转换为机械能方面都具有明显的优越性。
本节在介绍三相交流电产生的基础上，着重介绍三相负载的连接、分析与计算，并简介安全用电技术。
需要说明的是，三相交流即三个单相的组合，学习时请着重注意相与相间的关系。
３.4.１ 三相交流电的产生与联接
1．三相交流电的产生
三相交流电源是由三相发电机产生的，图3-50便是一台三相交流发电机的示意图。 令三相全同绕组A-X、B-Y、C-Z
Y （首-末）对称分布在定子凹槽内，转子 C N + 通入直流电励磁。图示磁极形状是为产生
A 中性面 正弦磁场而设计的。当转子由原动机带动， ω X 以角速度?旋转时，三个绕组依次切割
_ S Z 旋转磁极的磁力线而产生幅值相等（绕组
B 全同）、频率相同（以同一角速度切割）、 只在相位上（时间上）相差120°的三相 交变感应电动势。若以图3-50中A相
（位于磁场为零的中性面上）为参考，规 图3-50 三相交流发电机示意图 定其正方向为末端指向首端，则：
eA?Emsin?t eB?Emsin(?t?120?) （3-60）
eC?Emsin(?t?240?)?Emsin(?t?120?)其波形如图3-51所示。不难证明：
e eA eB eC eA?eB?eC?0 （3-61）
这样的三相电源称为三相对称电源。
其某一参考值出现的先后顺序为 A→B→C→A,叫做三相电源的相序。 （在图3-50中，若转子磁极逆时针 旋转，则其相序为A→C→B）。
若以有效值相量表示，则为：
EA?E?0??E。ωt 0 120° 240° 图3-51 三相对称电源的波形 13 (3-62)
EB?E??120??E（??j）22??E??120??E（?1?j3）EC22。更易看出：
?CE??E??E??0 (3-63) EABC120°120°
?AE120°
?BE
其相量图如3-52图所示.。
２．三相（发电机）绕组的联接
三相交流发电机绕组的联接方式有两种： 星性或三角形。一般常作星性联接，即三个 末端X、Y、Z连在一起，三个首端A、B、C
连同末端连接点N引出，如图3-53所示。 图3-52 三相对称电动势
这样联接的优点是：
A
?① 可以提供两种电压； VCA
?AE② 各相绕组承压低； ?AVN ③ 空载时发电机无内耗。 ?CE
?B?C（三角形联接时的情况同学可以自析之） VV?BE
图中由星性点引出的导线称为中线， ?AB VB
俗称零线；A、B、C端引出的导线称为相线，
俗称火线。所谓两种电压，即每相绕组的端
?，称为相电压，其有效值 ?、V?、V电压VCAB?BCV C
?、 图3-53 三相电源的星性接法 ?、V记作Vp；任意两条相线间电压VBCAB?，称为线电压，其有效值记作V。各电压 VlCA?A?V的参考方向也如图3-53中所示，则由图可得：
?CAV?CV?ABV?B?V?=V?—V? VABAB
30° 30° ?AV?=V?—V? （3-64） VBCBC?BV30?—V?=V? VCCAA?C?V?BCV发电机内阻抗上压降与输出电压相比可以
忽略不计，则相电压基本上等于电源的电动势， 图3-54 相、线电压间关系 故其相量图可如3-54图所示。
显见，三相电源的线电压也是对称的，其在相位上领先于相应的相电压30°。且由其几何关系可得： Vl?3Vp （3-65）
上述电源的供电线路称为三相四线制供电方式，我国的低压配电系统大都采用三相四线制。相电压为220V时，线电压为380V；线电压为220V时，相电压为127V。是常用的两种电压模式。
3.4.2 负载的星性（Y）连接
三相负载的连接方式也有两种，即星性和三角形连接，依电源额定电压与负载需求，两种连接方式都为常用。本节先分析负载Y连接时的三相电路。
负载星性连接的三相四线制电路如图3-55所示，三相负载分别为ZA、ZB、ZC，由于中线的存在，负载的相电压即为电源的相电压，且流过每相负载的电流亦即相线中电流，分
别为：
?V?IA?A ZA?V?IB?B （3-66） ZB?V?IC?C ZC?CVN ?AIZA ?AV?NIN′ ZC ZB ?BV?BI?CI据KCL，中线电流为： 图3-55 三相四线制电路
??I??I??I? （3-67） INABC下面分负载对称与不对称两种情况进行讨论。
1． 负载对称时的Y连接
所谓对称负载，即三相阻抗完全相同，亦即：
ZA?ZB?ZC?Z?? （3-68）
一般的三相电气设备，大都是（如三相电动机）对称负载。
?为参考相量，则： 设以VA?V?0?VpV?IA?A?p??(o???)?Ip?(o???) ZAZ??Z?Vp??120?VB?IB???Ip?(?120???) ZBZ???Vp?120?V??Ip?(120???) IC?C?Z??ZC可见，三个相电流也对称。
设?＞0，相量图如3-56图所示。则中线电流：
?CV?CIφ ?AVφ φ ?AI?BI?BV??I??I??I?=0 INABC显然，此时中线完全可以省去，这样的 图3-56 负载对称时的相量图
三相电路称为三相对称电路。负载的中点N′
与电源中点N等电位，电路的工作状态与有为中线无关。去掉中线的三相对称电路为三相三线制电路。
2． 负载不对称时的Y连接
三相负载不完全相同时，称为不对称负载。若中线牢固，则每个单相满足（3-66）式，
??I??I??I?≠0，此时中线不可省去。 但显然三个电流不再对称，且INABC负载不对称而无中线的情况，
属于故障现象。下面的例题可以
?AV?CVN FUA ?AIRA ?NIFUB ?IBRB N′ RC ?BVFUC ?CI
