【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解
析几何 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 理
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1.(2015·安徽卷改编)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是________.
解析 圆方程可化为(x－1)＋(y－1)＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，|3×1＋4×1－b|∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12. 22
3＋4答案 2或12
2.若圆C1：x＋y＝1与圆C2：x＋y－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.
解析 圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)＋(y－4)＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，从而C1C2＝3＋4＝5.由两圆外切得C1C2＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9. 答案 9
3.(2016·苏北四市模拟)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝2－x相交于A，B两点，
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O为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l的倾斜角为________.
1π
解析 由于S△AOB＝×2×2sin ∠AOB＝sin ∠AOB＝1，∴∠AOB＝，∴点O到直线l22的距离OM为1，而OP＝2，OM＝1，在直角三角形OMP中∠OPM＝30°，∴直线l的倾斜角为150°. 答案 150°
4.(2016·青岛一模)过点P(1，3)作圆O：x＋y＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长AB＝________.
解析 如图所示，∵PA，PB分别为圆O：x＋y＝1的切线， ∴AB⊥OP.
∵P(1，3)，O(0，0)， ∴OP＝1＋3＝2.
1
又∵OA＝1，在Rt△APO中，cos ∠AOP＝，
2∴∠AOP＝60°， ∴AB＝2OAsin∠AOP＝3.
1
2
22
2
答案 3
5.(2015·重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
解析 点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x＋y＝5，设所求直线为y|－k＋2|1
－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝＝5，解得k＝－，
2k2＋115
∴直线为－x－y＋＝0，即x＋2y－5＝0.
22答案 x＋2y－5＝0
6.(2016·苏、锡、常、镇模拟)过点A(3，1)的直线l与圆C：x＋y－4y－1＝0相切于点B，→→
则CA·CB＝________.
解析 法一 由已知得：圆心C(0，2)，半径r＝5，
△ABC是直角三角形，AC＝（3－0）＋（1－2）＝10，BC＝5，∴cos ∠ACB＝＝510，
2
2
2
22
2
BCAC→→→→
∴CA·CB＝|CA|·|CB|·cos ∠ACB＝5.
→→→→→→2→→→→
法二 CA·CB＝(CB＋BA)·CB＝CB＋BA·CB，由于BC＝5，AB⊥BC，因此CA·CB＝5＋0＝5. 答案 5
7.(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x＋y＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为________.
解析 由题意可得△AOB是以2为直角边长的等腰直角三角形，所以圆心(0，0)到直线AB的距离为2.又直线l的斜率一定存在，设斜率为k，则直线l的方程为y－3＝k(x－5)，即kx－y＋3－5k＝0，所以7
答案 1或
23
8.已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x＋y＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________.
解析 由x＋y＋2x－4y－4＝0，得(x＋1)＋(y－2)＝9， ∴圆C的圆心坐标为(－1，2)，半径为3. 由AC⊥BC，知△ABC为等腰直角三角形，
2
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2
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|3－5k|72
＝2，化简得23k－30k＋7＝0，解得k＝1或. 223k＋1
2
所以C到直线AB的距离d＝＝6. 答案 0或6 二、解答题
32|－1－2＋a|32
，即2＝，所以|a－3|＝3，即a＝0或a2221＋（－1）
9.已知一圆C的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l：x－y－1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程.
解 设圆C的方程为(x－2)＋(y＋1)＝r(r>0)， ∵圆心(2，－1)到直线x－y－1＝0的距离d＝2，
2
2
2
?22?2
∴r＝d＋??＝4，
?2?
2
2
故圆C的方程为(x－2)＋(y＋1)＝4.
?x－y－1＝0，?由?解得弦的两端点坐标为(2，1)和(0，－1). 22
?（x－2）＋（y＋1）＝4，?
22
所以过弦的两端点的圆的切线方程为y＝1和x＝0.
10.已知圆C：(x－1)＋(y＋2)＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1：x＋y－4＝0平行； (2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)， 则
|1－2＋b|
＝10，∴b＝1±25， 2
2
2
∴切线方程为x＋y＋1±25＝0； (2)设切线方程为2x＋y＋m＝0， 则
|2－2＋m|
＝10，∴m＝±52， 5
∴切线方程为2x＋y±52＝0； －2＋11
(3)∵kAC＝＝，
1－43
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)， 即3x＋y－11＝0.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2015·宿迁模拟)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x＋y－2x－4y＝0截得的弦长为4，
3
2
2
则直线l的方程为________.
解析 圆C的标准方程为(x－1)＋(y－2)＝5.直线l被圆C截得的弦长为4，则圆心C(1，2)到直线l的距离为1.当过点(2，5)的直线l的斜率不存在时，l：x＝2适合题意；当斜|k－2＋5－2k|率存在时，设为k，则l：y－5＝k(x－2)，即为kx－y＋5－2k＝0，此时＝
k2＋1447
1，解得k＝，直线l：x－y＋＝0，即为4x－3y＋7＝0，综上可得直线l的方程为x－
3332＝0或4x－3y＋7＝0. 答案 x－2＝0或4x－3y＋7＝0
12.圆x＋2x＋y＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有________个. |－1－2＋1|22
解析 圆的方程化为(x＋1)＋(y＋2)＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝
22，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 3
13.若圆C：x＋y＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是________.
解析 圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为2.因为圆关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心在直线 2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即b＝a－3，点(a，b)到圆心的距离为
2
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2
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d＝（a＋1）2＋（b－2）2＝（a＋1）2＋（a－3－2）2
＝2a－8a＋26＝2（a－2）＋18.
所以当a＝2时，d有最小值，18＝32，此时切线长最小，为（32）－（2）＝16＝4. 答案 4
14.已知圆O：x＋y＝4和点M(1，a).
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程. (2)若a＝2，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值. 解 (1)由条件知点M在圆O上， 所以1＋a＝4，则a＝±3. 当a＝3时，点M为(1，3)，
2
2
2
2
2
22kOM＝3，k切＝－
3
， 3
3
(x－1). 3
此时切线方程为y－3＝－
4
即x＋3y－4＝0，
当a＝－3时，点M为(1，－3)，k3
OM＝－3，k切＝3
. 此时切线方程为y＋3＝3
3
(x－1). 即x－3y－4＝0.
所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0或x－3y－4＝0. (2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)， 则d2
2
2
1＋d2＝OM＝3.
又有AC＝24－d221，BD＝24－d2， 所以AC＋BD＝24－d2
2
1＋24－d2.
则(AC＋BD)2
＝4×(4－d2
2
2
2
1＋4－d2＋24－d1·4－d2) ＝4×[5＋216－4（d2
2
22
1＋d2）＋d1d2] ＝4×(5＋24＋d22
1d2).
因为2d2222
91d2≤d1＋d2＝3，所以d1d2≤4，
当且仅当d1＝d2＝
62时取等号，所以4＋d22
51d2≤2
， 所以(AC＋BD)2
≤4×??5?5＋2×2???＝40.
所以AC＋BD≤210， 即AC＋BD的最大值为210. 5
