x2y2解 ：由椭圆方程 ??1 ，得F(?3,0)1,F2(3,0)， 设F1? 是F1关于l对称点 ，
123可求出F1? 坐标为(-9,6) ， 过F1?F2的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。 由 |MF1|?|MF2|?2a,得2a?65，
y l F1? P M ?a2?45,c2?9,?b2?36
F1 O F2 x x2y2所求椭圆方程为 ??1.
4536[点悟] ：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。 五、不等式法
基本不等式法先将所求最值的量用变量表示出来，再利用均值不等式“等号成立”的
条件求解。.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.
例5 、过椭圆2x?y?2的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求?AOB面积的最大值 。 分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。
解 ： 椭圆焦点(0,?1) ，设过焦点(0,1)，直线方程为y?kx?1 与2x?y?2联立 ，
消去y, 得 (2?k)x?2kx?1?0， 其中两根x1,x2为A,B横坐标 。 将三角形AOB看作?AOF与?BOF组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为 |x1?x2|.?S?AOB? ?S?AOB2222221|OF|?|x1?x2|, 其中 |OF|?c?1 214k2?4(2?k2)112 ?|x1?x2|=(x1?x2)?4x1x2=2(2?k2)222
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=2181. 当k2?1?2 即k?0时,取等号 ， ?122k2?1?k?1?22k?12 。 2即当直线为 y?1时 , 得到?AOB的面积最大值为
例2、设椭圆中心在坐标原点A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与椭圆
交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值.
2解:
依题意设得椭圆标准方程为 x4?y2?1
直线AB、EF的方程分别为 x?2y?0,y?kx(k?0) 设E(x1,kx1)F(x2,kx2)(x1?x2)
?x22????4?y?1?x221???y?kx1?4k2,x2?1?4k2
根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为
2h2kx1?2)1?x1?5?2(1?2k?1?4k5(1?4k2)
hx2?2kx2?22?5?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k2)又?AB?5 ∴四边形AFBE的面积为S?12AB(h1?h2)
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S?14(1?2k)2(1?2k)?5??25(1?4k2)(1?4k2)
(1?2k)21?4k?4k2?2?221?4k1?4k24k2?21??2221?4k当且仅当2k?1即k?
1时\?\成立 2?Smax?22
[点悟] 利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。
圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优化解题方法。
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