行列式性质 特征值性质（阵?为矩的特 运算性质 秩的性质 A征值） 转置矩阵 AT |AT|?|A| (AT)T?A (kA)T?kAT r(AT)?r(A) r(AT)?r(ATA) r(ATA)?r(A) (AB)T?BTAT (A?B)T?BT?AT 逆矩阵?1A 1|A|?|A| ?1有特征值 1? 伴随矩阵有特征值?n?1A?|A|?|A| |A| ? A?、AT、A?1三者之间有一个即好记又好用的性质 (AT)?1?(A?1)T (A?)?1?(A?1)? (AT)??(A?)T 数乘矩阵 有特?n.r(A)?n?r(A?)??1.r(A)?n?1 ?0.r(A)?n?1?kA之积|kA|?knA kAr(A?B)?r(A)?r(B) r(AB)?min{r(A),r(B)} 、矩阵AB |AB|?|A||B|征值k?，及矩阵之和aA?bE有特征值AB?0则有：A?Ba??b r(A)?r(B)?n 若A是可逆矩阵则有r(AB)?r(B)；同样，若B可逆则有r(AB)?r(A)
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2.3 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》
线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。
向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1??a21x1?a22x2????a2nxn?b2的系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是?ax?ax????ax?bm22mnnn?m11矩
阵
形
式
Ax?b；其中
A是系数矩阵
?a11a12???a1n??a?aa222n??21???????aa???am2mn??m1,
?x1??x?x??2?????????xn?,
?b1??b?b??2?????????bn?；另一种是向量形式
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?a1i??a??2i?a?x1a1?x2a2?????xnan?b，其中i????? i?1,2???n。向量就这样???ani?被引入了，可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程组的问题。
先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组
x1a1?x2a2?????xnan?0可以直接看出是一定有解的，因为当
x1?x2?????xn?0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向
量可由任何向量线性表示”，即当定存在一组数k1,k2??k1a1?k2a2?????knan中的??0时一
???kn使等式成立，至少在ki全为0时可以满足。
?x2a2?????xnan?0中的xi只能全
???an是否线性相关\\无关
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x1a1为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组a1,a2也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设a1,a2在一组不为零的数k1,k2则称向量组a1,a2???an为一组向量，如果存
???kn使得等式k1a1?k2a2?????knan?0成立，
???an线性相关；如果等式当且仅当k1?k2?????kn?0时
???an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐
成立，则称向量组a1,a2次线性方程组
Ax?0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。（这些
联系肯定不是简单的巧合，很有可能正是数学史上前后相承的发展，说不定线性相关\\无关的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程来编制数学教科书的话，虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材，但肯定会大大方便学习者的理解和领悟，因为这更接近于人思维自然进展的节奏，非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉，而“不明白自己学的到底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材，也可以在教材中做一些介绍）。
假如线性相关\\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a1,a2性无关组中有
???an组成的矩阵A有r(A)?n说明向量组的极大线
a1,a2???an27
n个向量，即线性无关，也即等式
k1a1?k2a2?????knan?0只有0解。所以，经过“秩—〉线性相关\\无关—〉
线性方程组解的判定”的逻辑链条，由
r(A)?n就可以判定齐次方程组
x1a1?x2a2?????xnan?0只有0解。当r(A)?n时，按照齐次线性方程
组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组
Ax?0的系数矩
阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m 对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组 Ax?b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示。线性表示的定义 为：对于向量组 a1,a2???an若存在一组数 k1,k2???kn使等式 k1a1?k2a2?????knan?b成立，则称向量b可由向量组a1,a2???an线性 表示。而使上述等式成立的ki就是非齐次方程组次线性方程组 Ax?b的解，故齐次方程组有性质“齐 Ax?0是否由非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性向关”，非齐 Ax?b是否有解对应于向量b是否可由AAx?b与对应齐次线性方程组Ax?0满 次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组足r(A)?r(A)?n时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次 ???an线性无关，而 方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若a1,a2a1,a2???an,b线性相关，则向量b可由向量组a1,a2???an线性表示，且表示方 法唯一”。 以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的学习并不容易“保持平庸”，一般不是学的很好、做起题来左右逢源、挥洒自如；就是收效欠佳、总感觉摸不准题目的脉络；其差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联系是不是真正把握领悟了。 线代部分的题目难就难在考点的跨度大，出题老师可以借助各知识点之间天然的内在联系来编制出非常灵活的题目，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。 我记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙，感觉这门课很难；但在考研备考时经过这样“抓本质联系”的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。 28
