k P12（k） K P12（k） K P12（k） 0 0.007707 1 0.046244 2 0.127171 3 0.211952 4 0.238466 5 0.190757 6 0.111275 7 0.047689 8 0.014903 9 0.003312 10 0.000497 11 0.000045 12 0.000002 表2-2 X的二项分布图
由表可以得出关闭的台数不超过1台的概率为:P12(0)?P12(1)?0.053951 而关闭台数超过7台的概率为：P12(8)?P12(9)??P12(12)?0.018759
由此可见,若取小概率标准为0.05, 则“停车台数不超过1台”和“停车台数超过7 台”均属小概率事件.根据小概率原理,可以认为在一个工作日内处于停车的车床台数在2~7台之间,进而可计算实际用电量.反之,还可以利用小概率原理,通过实际观察来检验原先对一台电器在一个工作日内关闭概率的估计值p?否正确.
如果在某个工作日内发现关闭的台数不超过1 台或超过7台,则表明上述两个小概率事件竟然发生了,因此可以认为这是不正常的.如果没有其他原因,就
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1是3
1可以认为将关闭概率估计为 是不正确的.
3这种类型的问题在商场管理中是经常遇到的.如果这时仍是这12台电器,设每台电器出现故障时需要维修的概率为p?0.05,假设各台电器间是否出现故障是相互独立的,而每一名维修工人维修能力是有限的,假定每次每名工人只能修一台.那么,为了及时修复设备,商场应配备几名维修工人以保证电器得到及时的修复.同一天内出现故障车的床台数服从二项分布x~b(12,0.05). 不难算出:P12(0)?0.541 ，P12(1)?0.341
至少2台出现故障的概率P?1?P12(0)?P12(1)?0.118
据此,可以考虑只配备1名维修工,因为超过1台出现故障的概率是小概率.
3.3小概率事件原理在保险中的应用
保险是近代一个频率较高的词汇,生活中处处都要和这个行业打交道.我们在购买保险前先要弄清楚的重要问题之一就是我们需要什么样的保险方案.对于我们来说,保险的基本功能是用来保障生活中小概率事件的产生.而在生活里存在着各种各样的风险,我们应对的方法也是不一样的. 对于损失小的事件,无论事件发生的概率高还是低,我们一般都采用任之发生的方式,也就是自己承担损失.比如说锁门的锁头坏了,那么我们只要就去商场里从新买把就可以了,没有谁说再到保险公司买一个锁头险.即便你想要买,关键是也没有保险公司卖.这类的事件便是没有保险地意义的事件. 如果是发生频率高且损失也高的风险,我们经常采用的办法是有意的避免它.如果买这类的保险,保费会非常昂贵这里保费昂贵的含义是,保费和保障额度相差不大,保险公司一般也不承保.如战争,特大传染病,危险运动蹦极,跳伞,攀岩等等.
[12][11]
我们转移给保险公司的一般来
说是低概率,高损失的风险.如财产,人身安全,疾病等等.由于其发生的概率比较低,一旦发生将会给我们带来难以承受的损失.正是由于这些事件极低的概率性,使得其保费相对于保障额度来说比较低.这是什么原因呢一般的保费的计算方法是保险事故发生的概率和保障额度的乘积再加上保险公司的费用. 如我们
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可以统计出一名35岁男性在一年内死亡的概率是万分之五,不考虑其他因素的话,如果购买100万保额的一年期定期寿险,那么纯保费将是500元假设保险公司的费用率是纯保费的一半,那么总保费就是750元.750元的保费和100万元意外收益差别巨大,这就使得这类风险具有了保险的意义。
我们接下来分析一下这位男士要购买一份一年期的两全险，[13]也就是不管他在一年内死亡与否，保险公司在一年后都要支付给他100万元，那么纯保费就是100%×100万=100万，因为保险事故中，生或死发生的概率是100%。假定保险公司的费用率是纯保费的10%，这位男士最后缴纳的保费是110万元。投保的费用居然超过了保额，必然不会有人会买这种保险,也不会有保险公司设计并出售这类保险,因而这样的高概率险就失去了保险的意义。
保险事业是最早使用概率的部门之一，它会有巨大的利润就是成功的运用了小概率事件原理。
例5 某一保险公司,有2500个统一年龄层的相同社会阶层的人参加保险,在一年内,每个人死亡的概率为0.002.每个参加保险的人在1 月1 日付12 元保险费,而当它在这一年死亡时,家属可从公司领取保险费2000 元. 求：此保险公司亏本的概率。 [14]
解：我们以一年来算,1月1日,公司收入为2500×12 = 30000 元,假定死亡x人,则保险公司一年付出2000x元,亏本指2000x?30000, x?15,即.把“参加保险的每人在该年是否死亡”看成一次随机试验,2500人参加试验就相当于2500重贝努利试验,于是x~b(k,2500,0.002).利用泊松定理可得:
e?(2500?0.002)P{x?15}??(2500?0.002)??0.0069
k!k?162500k“保险公司赔钱”显然是一个小概率事件,因此有理由认为此保险公司在该年不会亏本.事实上可以计算该保险公司在本年的获利少于10000 元的概率仅为0.014,也该公司本年度的收益不会少于10000 元. 综上所述,保险公司实际上正是应用小概率事件的原理,提前预测出亏本的概率极小,在保险业中最大的赢家
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其实是保险公司.但人们不能因为意外事件发生的概率小和取得收益的概率小而不去投保,这里我们更要说明小概率事件并不是不可能事件,我们万万不能忽视,应该正视保险业.而对于保险业来说,所谓的小概率,什么情况下才会有意义？那便是对一个足够大的样本、群体才具有意义！[15] 3.4小概率事件原理在日常生活中的应用
我们在生活中也经常会遇到小概率事件,例如：如一个人成为国家领导人的概率固然非常小,但上亿人中至少还会有几个国家领导人就几乎是必然的了.人的一生有许多机会,聪明的人善于抓住好机会,避免机会流失.从而抓住了好机会就是我们所谓小概率中的“小”.
我们研究小概率事件的目的是掌握其发生的条件,为我们所用,目的是使它朝着有利于我们的方向发展,避免具有破坏性不利于我们的小概率事件的发生,接下面我们通过实例来举例说明小概率事件原理在日常生活中的应用.[16]
例6 某生产线中袋装盐的质量X服从均值为1000g,标准差为20g的正态分布, 即X~N(1000,20)，现对袋装盐的质量进行抽查,发现有一袋盐质量为1080g,问：是否有理由怀疑生产线存在故障？[17]
解：根据正态分布的“3?—原则” 若X~N(?,?2),则Y?所以：
P(??3?,??3?)?P(?3??2?0.99865?1?0.9973X???3)??(3)??(?3)?2?(3)?1X??~N(0,1)
??不难看出, X的值几乎以概率1落在( ??3?,??3? )区间内,也就是说, X的值以很小的概率落在(??3?,??3?)之外. 由正态分布的“3?—原则”, 袋装盐质量应以概率1落在（1000-3×20,1000+3×20）即(940,1060)之内,现在被
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