数学学科测试（理工类） 2017.3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合A?{x|?1?x?3}，B?{x?Z|x2?4}，则A?B? 开始 {?1,0,1}{0,1}{?1,0,1,2}{?2,?1,0,1,2} （C） （A）（B）（D）
?2x?y≤0,输入m,n ? （2）若x,y满足?x?y≤3, 则2x?y的最大值为（A）0 （B）3 （C）4 （D）5
?x≥0,i?0 ?（3）执行如图所示的程序框图，若输入m?4，n?6，则输出a?
（A）4 （B）8 （C）12 （D）16
（4）给出如下命题： ①若“p∧q”为假命题，则p, q均为假命题； ②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
③(1?x)8的展开式中二项式系数最大的项是第五项.其中正确的是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③ （5）设抛物线y2?8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA?l，A为垂足. 若直线AF的斜率为?3，则PF? （A）43（B）6（C）8（D）16 （6）已知函数f(x)??北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
i?i?1a?m?i a能被n整除？ 否 是 输出a ??log4x,0?x?4,若a,b,c,d是互不相同的正数，且 结束 2x?10x?25,x?4.??f(a)?f(b)?f(c)?f(d)，则abcd的取值范围是 （A）(24,25)（B）(18,24)（C） (21,24)（D）(18,25)
1 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是 （A）
1313 （B） （C） （D） 22440.5 0.5 正视图
侧视图
（8）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与 其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得 1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是
（A）可能有两支队伍得分都是18分 （B）各支队伍得分总和为180分 （C）各支队伍中最高得分不少于10分 （D）得偶数分的队伍必有偶数个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
1 1?i?（9）复数在复平面内对应的点的坐标是____.（10）在△ABC中，?A?，BC?3，AB?6，则?C?____.
i3 （11）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若S6?51，a1?a9?26，则数列{an}的公差d? ，通项公式an? ．? (12) 在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为?sin(??)?2．若以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐
4?x?cost,标系xOy，则直线C1的直角坐标方程为_____；曲线C2的方程为?（t为参数），则C2被 C1截得的弦长为___.
?y?1?sint(13) 如图，?ABC11，?C1B2C2，?C2B3C3是三个边长为2的等边B2 B3 B1 三角形，且有一条边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1,P2，P1 ?????????????则AB2（?AP= . 1+AP2）P2 （14）在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)到两坐标轴的距离之
A 和等于它到定点(1,1)的距离，记点P的轨迹为C.给出下面四个结C1 C3 C2
论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y?x对称；
③点(?a2,1)(a?R)在曲线C上；④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小1于. 其中所有正确结论的序号是 . 2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数f(x)?sin?x(cos?x?3sin?x)?俯视图
π3(??0)的最小正周期为.
22(Ⅰ)求?的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调递减区间. （16）（本小题满分13分）某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为
222295，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s1 ，s2，试比较s1与s2的大小．（只需写出结论）
（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P?ABCD中，
平面PAD?平面ABCD，E为AD的中点，PA?AD，BE?CD, BE?AD， PA?AE?BE?2,CD?1. （Ⅰ）求证：平面PAD?平面PCD；（Ⅱ）求二面角C?PB?E的余弦值； （Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM?平面PBC？ 若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.
(18)（本小题满分13分）已知函数f(x)?lnx?ax?1(a?R), A P
E
C
B
D
12x?2x.（Ⅰ）求f(x)的单调区间； 2（Ⅱ）当a?1时，若函数g(x)在区间(m,m+1)(m?Z)内存在唯一的极值点，求m的值. g(x)?xf(x)?x26 (19)（本小题满分14分）已知椭圆C:2?y2?1(a?1)，离心率e?．直线l:x?my?1与x轴交于点A，与椭圆Ca3相交于E,F两点．自点E,F分别向直线x?3作垂线，垂足分别为E1,F1.（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；
S1S3?AEF?AEE?AFFSSSⅡ,,,,（）记为定值. 1111的面积分别为123，试证明S22 (20)（本小题满分13分）对于正整数集合A={a1,a2,?,an}（n?N?，n33），如果去掉其中任意一个元素ai（i=1,2,?,n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”.（Ⅰ）判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值.
数学学科测试答案（理工类） 2017.3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 题号 B C C B C 答案 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9） （10） （11） 题号 答案 (1,?1) 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
（7） D （8） D （12） （13） 36 A （14） ? 43，3n?2 x?y?2?0，2 ②③④ 三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：因为f(x)?sin?x(cos?x?3sin?x)?33
?sin?x?cos?x?3sin2?x?22π13?sin(2?x?)，…………5分 ?sin2?x?cos2?x322π2???.解得??2. …………7分 (Ⅰ) 又因为函数f(x)的最小正周期为，所以
2?22ππ3ππ7πkππkπ7π,k?Z得，2kπ??4x?2kπ?,k?Z，所以??x??,k?Z. (Ⅱ) 令2kπ??4x??2kπ?23266224224kππkπ7π,?],k?Z. …………13分 所以函数f(x)的单调递减区间是[?22422455?27?3，女员工的人数为?18?2．……4分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为4545
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3．
12130C3?C2C32?C2C3?C2361?P(X?2)??P(X?3)??根据题意，P(X?1)?，，． 333C510C510C510361189?2??3???． ………………………………10分 随机变量X的分布列如下表，数学期望EX?1?101010105z P 3 X 1 2
361 P 101010
22（Ⅲ）s1?s2． ………………………………13分
y （17）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由已知平面PAD?平面ABCD， A D E PA?AD，且平面PAD?平面ABCD?AD，所以PA?平面ABCD. 所以PA?CD.又因为BE?AD，BE?CD，所以CD?AD. C 所以CD?平面PAD.因为CD?平面PCD，所以平面PAD?平面PCD. ……4分 x B ????????（Ⅱ）作Ez?AD，以E为原点，以EB,ED 的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz，
????????E(0,0，0)P(0,?2，2)A(0,?2，0)B(2,0，0)D(0,2，0)C(1,2，0),.所以PB?(2,2，则点，，，，?2,)，BC?(?1,2，0)，
??????????n?PB?0,?x?y?z?0,.(xyz)nPBC设平面的法向量为＝，，，所以即?令y?1，解得n?(2,1,3). ?EP?(0,?2，2)?????x?2y?0.??n?BC?0.???????m?PB?0,?a?b?c?0,设平面PBE的法向量为m＝(a，b，c)，所以?即?令b?1，解得m?(0,1,1). ?????b?c?0.??m?EP?0.?所以cos?n,m??2?0?1?1?3?12727.由图可知，二面角C?PB?E的余弦值为.…………………10分 ?7714?2?????????（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM?平面PBC”等价于“DM?n?0”.因为PE?(0,2，?2)， ??????????????，?2?)，DM?(0,2??4，设PM??PE?(0,2?，?2?)，??(0,1)，则M(0,2??222?2?).由（Ⅱ）知平面PBC的法
?????1
向量为n?(2,1,3)，所以DM?n?2??4?6?6??0.解得??.所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM?平
2
面PBC. ………14分
11?ax?a?.（ⅰ）当a≤0时，f?(x)?0恒成立，则xx11函数f(x)在(0,??)为增函数；（ⅱ）当a?0时，由f?(x)?0，得0?x?；由f?(x)?0，得x?；所以函数f(x)的
aa11单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,??). ……4分
aa121212（Ⅱ）因为g(x)?xf(x)?x?2x?x(lnx?x?1)?x?2x?xlnx?x?x，则g?(x)?lnx?1?x?1
22211?lnx?x?2?f(x)?3.由（Ⅰ）可知，函数g?(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减.又因为g?(2)??2?2?2
ee1??2?0，g?(1)?1?0，所以g?(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1.又在(0,x1)上g?(x)?0，g(x)在(0,x1)上单调递减；
e在(x1,1)上g?(x)?0，g(x)在(x1,1)上单调递增.所以x1为极值点，此时m?0.又g?(3)?ln3?1?0，
g?(4)?2ln2?2?0，所以g?(x)在(3,4)上有且只有一个零点x2.又在(3,x2)上g?(x)?0，g(x)在(3,x2)上单调递增；
（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得x?0，f?(x)?在(x2,4)上g?(x)?0，g(x)在(x2,4)上单调递减.所以x2为极值点，此时m?3.综上所述，m?0或m?3.……13分
a2?12c6（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知b?1，又?，即?.解得a2?3.即a?3. 2a3a3x222所以c?a?b?2.所以椭圆C的方程为?y2?1，焦点坐标为(?2,0). …………………4分
3?x?my?1,y（Ⅱ）由?2得(m2?3)y2?2my?2?0，显然m?R. 2?x?3y?3?0?2m?2E,y1y2?2设E(x1,y1),F(x2,y2),则y1?y2?2，E1(3,y1),F1(3,y2). m?3m?3111AO因为S1S3?(3?x1)y1?(3?x2)y2?(2?my1)(2?my2)y1y2 2241?2m?2?21F?m2?2)2?[4?2m(y1?y2)?m2y1y2]y1y2?(4?2m?2
4m?3m?3m?3413(m2?2)4m28222S?[?2y?y] ?2???(y?y)?4yy，又因为212121222222(m?3)(m?3)m?33(m2?2)S1S31(m2?3)24m2?8m2?2412m2?24??. . ………………………14分 ??所以
S2212(m2?2)4(m2?3)2(m2?3)2(m2?3)2（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”.………………3分
（Ⅱ）设集合A={a1,a2,?,an}所有元素之和为M.由题可知，M-ai（i=1,2,?,n）均为偶数， 因此ai（i=1,2,?,n）的奇偶性相同.
（ⅰ）如果M为奇数，则ai（i=1,2,?,n）也均为奇数，由于M=a1+a2+?+an，所以n为奇数.
E1xF1（ⅱ）如果M为偶数，则ai（i=1,2,?,n）均为偶数，此时设ai=2bi，则{b1,b2,?,bn}也是“和谐集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数. 综上所述，集合A中元素个数为奇数.…………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合A中元素个数为奇数，当n=3时，显然任意集合{a1,a2,a3}不是“和谐集”.当n=5时，不妨设
a1 则有a1+a5=a3+a4 ①，或者a5=a1+a3+a4 ②；将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4 ③，或者a5=a2+a3+a4 ④.由①、③，得a1=a2，矛盾；由①、④，得a1=-a2，矛盾；由②、③，得a1=-a2，矛盾；由②、④，得a1=a2，矛盾.因此当n=5时，集合A一定不是“和谐集”. 当n=7时，设A={1,3,5,7,9,11,13}，因为3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11， 所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”.集合A中元素个数n的最小值是7. ……………13分
