例如，已知某对象为二阶惯性环节，其传递函数为：
G(s)?1(5s?1)(2s?1)
测量装置和调节阀的特性为： Gm(s)?110s?1 Gv(s)?1. 0 结果，最终整定的PID校正装置参数为： Kp=7.5000，Ki=0.5000，Kd=14.2500
本系统是过程控制对象，特点是时间常数大，控制要求精度不高。在Simulink环境下应用边界整定PID参数非常方便。以下是仿真模块图和相应的阶跃响应曲线。
图2-1 整定前的模块和曲线
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图2-2 整定后的模块和曲线
2.2.2 临界比例度法
Ziegler和Nichols提出的临界比例度法是一种非常著名的工程整定方法[22]。通过实验由经验公式得到控制器的近似最优整定参数，用来确定被控时象的动态特性的两个参数临界增益Km和临界振荡周期Tm。临界比例度适用于已知对象传递函数的场合，在闭合的控制系统里将控制器里于纯比例作用下，从大到小逐渐改变控制器的比例增益称得到等幅振荡的过渡。此时的比例增益价被称为临弄摺益凡，相邻两个波峰间的时间间隔为临界振荡周期Tm
用临界比例度法整定PID参数的步骤如下:
(l)将控制器的积分时间常数Ti置于最大(Ti=?)．微分时间常数Td置零(Td=0)，比例系数Kp置适当的值，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。
(2)将比例增益Kp逐渐减小，直至得到等幅振荡过程，记下此时的临界增益Km和临界振荡周期Tm值。
(3)根据Km和Tm值，按照表2-2中的经验公式，计算出控制器各个参数，即Kp，
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Ti和Td的值：
表2-2 临界比例度法参数整定公式 控制器类型 P PI PID
2.2.3 图解稳定性准则的参数整定方法
这是本文重点介绍的参数整定方法[23-27]。
考虑图2-3所示SISO单位反馈控制系统，其中:r(t)为参考输入信号，y(t)为输出信号，G(s)代表被控对象传递函数，C(s)代表控制器传递函数。
Kp Ki ?Kd 0.5Km 0.455Km 0.6Km 0 0 0.125Tm 0.833Tm 0.5Tm r(t) C(s) G(s) Y(t) + —— 图2-3 单位反馈系统
本文假设被控对象G(s)为带滞后因子的一阶惯性环节，即有：
G(s)?k1?Tse??s
(2-7)
其中k>0为稳态增益，?>0为滞后时间，T为惯性环节时间常数。控制器C(s)取PI形式：
C(s)?Kp?Kis (2-8)
设计的目标是确定PI控制器的参数集合(Kp,Ki) ，使得图2-1所示闭环系统稳定。
首先，求得系统的闭环特征多项式为
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?(s)?(1?Ts)?k(Kp?Kps)e??s (2-9)
各项同时乘以e?s得
?* (s)?(1?Ts)se?s?k(Kp?Kps) (2-10)
令s= j?，得到
?* (j?)=(1+jT?)j?ej??+k(Ki?jKp?) (2-11)
将?* (j?)分解为实部和虚部，有
?* (j?)=?r(?)?j?i(?) (2-12)
其中
?r(?)???co??s(?T)??i(?)??co??s(?T)?22??cos?(kKi)??sin?(kKp)? (2-13)
由式(2-13)可以看到，?r与?i依赖于参数Kp,Ki,?，将其记为
?r=?r(Kp,Ki,?)
?i=?i(Kp,Ki,?)
基于以上表达式，可以在参数空间(Kp,Ki)研究闭环特征多项式具体方法如下:
00,Ki,?)为虚轴上的一点，使得 假设(Kp
?r??r(Kp,Ki,?)?0?i??i(K,K,?)?00p0i00 (2-14)
即闭环系统在虚轴上存在一个根。由隐函数存在定理可知，如果雅可比矩阵
?? J????????r?Kp??i?Kp??r???Ki? （2-15） ???i??Ki?0?(K0p,Ki,?)
非奇异(即矩阵J的行列式detJ≠0)，则由方程组(2-14)可解得局部唯一连续解曲线
(Kp(?),Ki(?))。进一步，有如下命题。
命题1沿?增加的方向，当detJ< 0时，参数曲线(Kp(?),Ki(?))右侧的参数空间为稳定的参数区域;而当detJ>0时，左侧为稳定的参数区域。其中J为由式(2-15)
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