f(x)； f(y)f(x)③指数函数型：f(x)?ax ------------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?；
f(y)x④对数函数型：f(x)?logax -----f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)；
yf(x)?f(y)⑤三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?。如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函
1?f(x)f(y)T数，若它的最小正周期为T，则f(?)?____（答：0）
2②幂函数型：f(x)?x2 --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()?（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如
（1）设函数f(x)(x?N)表示x除以3的余数，则对任意的x,y?N，都有
A、f(x?3)?f(x) B、f(x?y)?f(x)?f(y) C、f(3x)?3f(x) D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果f(1)?lg求f(2001； )（答：1）
＊（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)??f(x)，证明：直线x?1是函数f(x)图象的一条对称轴；
（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(?x)??f(x?4)，且当x?2时，f(x)单调递增。如果x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，则f(x1)?f(x2)的值的符号是____（答：负数）
（3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行
逻辑探究。
如（1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；
如（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，
______（答：偶函数）；
如（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，
当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么的解集是_____________（答：
y 则f(x)的奇偶性是
xy3，f(2)?lg15，2不等式f(x)?cosx?0(??,?1)?(0,1)?(,3)）；
22???如（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有f()?f(x)?f(y)，且x?1时，f(x)?0，又
xy1f()?1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）． 27.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数
2??(x?1).(x?1)f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取值范围是__________（答：(??,?2]?[0,10]）；（2）
??4?x?1.(x?1)(x?0)?1 3已知f(x)??，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________（答：(??,]）
2(x?0)??1 8. 反函数：
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（1）存在反函数的条件：是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在
反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数
y?x2?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、a????,1 B、a?2,??? C、a?[1,2] D、a????,1?2,??? （2）求反函数的步骤：①反求x；②互换
③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数y?f(x?1)x、y；
的反函数不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。 如设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?1????(x)（答：f?1(x)?1． (x?1)）
x?1（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。
如单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f?1(x) 的定义域为
?14?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）. ??aa??1②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称，
注意 函数y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。
?1如（a）已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 如（b）已知函数f(x)?2x?3，若函数y?g(x)与y?fx?1求g(（答：3)的值(x?1)的图象关于直线y?x对称，
7）； 2③f(a)?b?f?1(b)?a。
如（a）已知函数f(x)?log3(4； ?2)，则方程f?1(x)?4的解x?______（答：1）
x如（b）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数f?1(x)， f (4)＝0，则f?1(4)＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。
如已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那么不等式
（2,8））； f?1?log2x??1的解集为________（答：
⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f?1(x)]?x(x?B)，
f?1[f(x)]?x(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。
三：题型研究
例6：设函数f(x)?x2?2ax?2(a?R)当x?R时，f(x)?a恒成立，求a的取值范围。
练习1：函数y?(a?2)x2?2(a?2)x?4的值恒小于0，则a的取值范围是？
例7：（2005年全国I卷）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)??2x 的解集为（1，3） 。(1)若
方程f(x)?6a?0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
例8：求函数
y??x2?6x?5的值域
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?x2?bx?c(x?0)例9：设函数f(x)??，若f(?4)?f(0),f(?2)??2，则关于x 的方程f(x)?x的解的个数为
?2(x?0)A .1 B.2 C.3 D.4
例10：关于x的方程x2?ax?a?0 (a?0)有两个实数根x1,x2，
（1）求
11的值， （2）证明：x1??1且x2??1 ?x1x2(3)若mx1x2?x2?x1?0恒成立，求实数m的取值范围
四：方法与技巧（阅读部分） 1：分类讨论的思想：
若一个数学问题中含有字母参数，常需要对这个字母参数进行讨论，在二次函数中如含参数常采用分类讨论的思想来求解。特别是函数的二次项系数含有字母参数时，要按二次项系数大于0、等于0、小于0进行讨论，有时还需要针对二次函数的对称轴的位置进行分类讨论。
例12：求函数y?x2?ax?1(a为常数)，x?[?1,1]的值域。（动轴定区间）
2：换元法：有些问题需要换元后转化为二次函数在求解，换元时要注意换元后新元的范围。
例13：求函数y?22x?2x?1?1 x?[?1,1]的值域
练习：方程sin2x?3acosx?2a2(3a?2)?1有解，求实数a的取值范围。 3：二次函数在某个区间上的最值问题 题目类型：（1）定轴动区间、（2）动轴定区间、（3）定轴定区间 解题关键：抓住“三点一轴”，三点即区间两端点与区间的中点：一轴即为对称轴。
例14：已知函数y?x?2x?3在闭区间?0，m?上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
2 A?1,??? B?0,2? C?1,2? D???,2?
例15：已知f(x)?x?ax?3?q若x?[?2,2]时，f(x)?0恒成立，求q的取值范围.
ex、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域是R，求实数m的取值范围。
函数的图象及变换： 一．函数图象的识别与应用
函数的图象是函数重要组成部分，当能描绘出函数的图象时，可以从图象中比较直观地得到一些函数的性质（比如最值、单调性、对称性等），对解题，分析问题有更好的帮助作用.画好一个函数图像需要具备以下方面的能力：（1）掌握好一些基本函数的图象.（２）掌握画图的基本方法：描点法. （３）借助于函数的基本性质画图.
2例1：二次函数y?ax?bx?c的图象如图2—1所示，则（ ）
A．a?0,b?0,c?0 B．a?0,b?0,c?0C. a?0,b?0,c?0 D. a?0,b?0,c?0
评析：本题主要考查二次函数图象的画法，开口方向。对称轴，顶点及图象与x轴，y轴的交点. 例2：函数y?f(x)的图象可能是（ ）
A． 关于y轴对称 B .关于X轴对称 C. 关于y=x轴对称 D.关于y=-x轴对称
?f(x),x?0评析：本题主要考查函数的性质；首先去掉绝对值，及f(x)??根据函数的图象变换
?).xf(x)与f(?x)的图象关于y轴对称，在同一个函数中，若满足f?(f?(x)x?f?(x0)，那么该函数的图象关于y轴对称.
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二：图象的平移与变换
1关于点的对称性
y轴对称关于x轴对称（1）P(x,y)?关于； （2）?????P(?x,y)P(x,y)??????P11(x,?y)；
y?x轴对称关于y??x轴对称（3）P(x,y)?关于?????P??P1(y,x) （4）P(x,y)?????1(?y,?x)；
y?a轴对称（5）P(x,y)?关于（6）P(x,y)?关于原点对称?????P?????P1(2a?x,y)；1(?x,-y)；
关于点A（a,b）对称（7）P(x,y)????????P1(2a?x,2b?y)； 2．图象的平移
向右平移a个单位（1）y?f(x)的图象?； ??????y?f(x?a)的图象（a?0）向左平移a个单位（2）y?f(x)的图象?； ??????y?f(x?a)的图象（a?0）向上平移b个单位（3）y?f(x)的图象?； ??????y?f(x)?b的图象（b?0）向下平移b个单位（4）y?f(x)的图象????? ??y?f(x)?b的图象（b?0）例3：画函数y?2x?1的函数图像，然后再画出下列函数的图像：
（1）y?f(x?1)； （2）y?f(x?1)；（3）y?f(x)?3：（4）y?f(x)?3； （5）y?f(x?1)?3 3．图象的对称变换
y轴对称x轴对称（1）y?f(x)图象?关于（2）y?f(x)图象?关于?????y?f(?x)的图象；?????y??f(x)的图象； y?x轴对称3）y?f(x)图象?关于?????y?f?1y??x轴对称（4）y?f(x)图象?关于 (x)的图象；??????y??f?1(?x)的图象；
x?a轴对称（5）（6） y?f(x)图象?关于?????y?f(2a?x)的图象；y?f(x)图象?关于原点对称?????y??f(-x)的图象；A（a,b）对称（7）y?f(x)图象?关于点???????y?2b?f(2a-x)的图象；
例4：画出函数y?2x的函数图象，并再画出下列函数的图象.
（1）y?f(?x)； （2）y??f(x)； （3）y??f(?x)；（4）y?f?1(x)
练习：（1）若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于x轴对称，求函数f(x)的解析式.
（2）若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于y轴对称，求函数f(x)的解析式. （3）若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于原点对称，求函数f(x)的解析式. （4）若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于y?x对称，求函数f(x)的解析 （5）若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于y??x对称，求函数f(x)的解析 (6) 若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于P(2,1)对称，求函数f(x)的解析式. (7) 若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于x?5对称，求函数f(x)的解析式. (8) 若函数f(x)的图象与函数y?3x?2的图象关于y?2对称，求函数f(x)的解析式. 4．图象的翻折变换
（1）y?f(x)的图象是将y?f(x)的图象保留y轴右侧的图象，将y轴右侧的图象作关于y轴对
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