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期末复习之二次函数与几何综合
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题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生特殊图形
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坐标系中（函数图象上）动点产生特殊图形问题，主要讨论产生三角形和四边形两类.
一、坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解两类： ①因动点产生的等腰三角形问题；②因动点产生的直角三角形问题.
⑴因动点产生的等腰三角形问题的方法与技巧：
如图，已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使△ABP为等腰三角形．
kBAlP1BAlP2P5P3P4
几何法：①分别以点A、B为圆心，AB为半径作圆，找点P（检验） 1，P2，P3，P4． ②作线段AB的垂直平分线k，找点P5．（检验） 代数法：设点P的坐标为?m，n?，求出AB、AP、BP的长度，分类讨论： ①AB?AP；②AB?BP；③AP?BP．求出点P?m，n?．（检验）
⑵因动点产生的直角三角形问题的方法与技巧：
如图，已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使△ABP为直角三角形． B ABA ll P2P1
几何法：①分别过点A、B作线段AB的垂线，找点P（检验） 1，P2．
BAP3P4l ②以线段AB为直径作圆，利用直径所对的圆周角为90?，找点P3，P4．（检验） 代数法：设点P的坐标为?m，n?，求出AB、AP、BP的长度，分类讨论：
①AB2?AP2?BP2；②AP2?AB2?BP2；③BP2?AB2?AP2.求出点
（检验） P?m，n?．
二、坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题： ⑴因动点产生的平行四边形问题； ⑵因动点产生的梯形问题. ⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：
已知以点A、点B为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点． ①AB为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形． ②AB为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．
AB
AB
⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：
如图，已知△ABC和直线l，在直线l上找点P，使以点A、B、C、P为顶点的四边形为梯形．
①分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线与直线l相交． ②检验以点A、B、C、P为顶点的四边形是否为平行四边形．
CABlP1P2ABClP3
典题精练
20?，与y轴交于点B． 【例1】 已知二次函数y??x?bx?3的图象与x轴的一个交点为A?4，⑴ 求此二次函数关系式和点B的坐标；
⑵ 在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2011淮安）
y
0?代入二次函数有： 【解析】⑴ 把点A?4，0??16?4b?3得：b?BA13 4213所以二次函数的关系式为：y??x?x?3．
4Ox当x?0时，y?3
3?． ∴点B的坐标为?0，y⑵ 如图：
B作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP， 则：BP?AP
设BP?AP?x，则OP?4?x， 在直角△OBP中，BP2?OB2?OP2
22即：x?3??4?x?
2AOPx解得：x?∴OP?4?25 8257? 88?7?所以点P的坐标为：?，0?
?8?【点评】 可以把“△PAB是以AB为底边的等腰三角形”拓展为“△PAB是等腰三角形”.
2k?和【例2】 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y?kx?x?1的图象交于点A?1，?? ?k?． 点B??1，⑴当k??2时，求反比例函数的解析式；
⑵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
⑶设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
（2012杭州）
?2?， 【解析】 ⑴当k??2时，A?1，∵A在反比例函数图象上， ∴设反比例函数的解析式为：y?m， x B(-1,-k) Q y A(1,k) C O D x?2?得：?2?代入A?1，解得：m??2，
m， 12∴反比例函数的解析式为：y??，
x⑵∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大， ∴k?0，
11?5?∵二次函数y?k?x?x?1??k?x???k，的对称轴为：直线x??，
22?4?222x必须在对称轴左边， 要使二次函数y?kx?x?1满足上述条件，在k?0的情况，
??1即x??时，才能使得y随着x的增大而增大，
21∴综上所述，k?0且x??；
2?15?⑶由⑵可得：Q??，k?，
?24?∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
