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26．（10分）数列{an}满足an+1=2an﹣1，aN=1且aN﹣1≠1，其中N∈{2，3，4，?} （1）求证：|a1|≤1； （2）求证：a1=cos
（k∈Z）．
2
江苏省宿迁市沭阳县银河学校2015届高三上学期开学数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．（5分）函数f（x）=sin（ωx﹣
）的最小正周期为
，其中ω＞0，则ω=6．
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由已知及周期公式有T=
=
从而可解得?=6． =
??=6．
解答： 解：由已知及周期公式有T=
故答案为：6．
点评： 本题主要考察了正弦函数的周期公式的应用，属于基础题．
2
2．（5分）若复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则a=1．
考点： 复数的基本概念． 专题： 计算题．
分析： 根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值．
2
解答： 解：∵复数z=a﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数 ∴
解得
∴a=1
故答案为：1
点评： 本题考查纯虚数的定义，本题解题的关键是根据复数的基本概念列出不等式组，这种类似的题目还有复数是一个实数，是一个虚数等，本题是一个基础题．
x
3．（5分）若A={x∈Z|2≤2≤16}，B=（3，4，5}，则A∩B={3，4}．
考点： 指数函数单调性的应用；交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 解指数不等式求出集合A，结合集合B=（3，4，5}和交集的定义，可得A∩B．
x
解答： 解：∵A={x∈Z|2≤2≤16}={x∈Z|1≤x≤4}={1，2，3，4}，
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B=（3，4，5}， ∴A∩B={3，4}， 故答案为：{3，4}．
点评： 本题考查的知识点是指数不等式的解法，集合的交集运算，其中求出集合A是解答的关键．
4．（5分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的
圆与渐近线相切，则其渐近线方程为y=±x．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 设出双曲线的焦点F和渐近线方程，利用圆心F到渐近线的距离是d=r，求出a与b的关系，即得渐近线方程．
解答： 解：设双曲线的焦点为F（c，0），渐近线方程为y=±x， 化为直线的一般形式为bx±ay=0； ∴圆心F（c，0）到渐近线的距离是： d=
=a；
即=a，
∴a=b；
∴渐近线方程为y=±x． 故答案为：y=±x．
点评： 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了点到直线的距离的应用问题，是基础题． 5．（5分）如果数据x1，x2，x3，?，xn的方差是a，若数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，?，3xn﹣2的方差为9，则a=1．
考点： 极差、方差与标准差． 专题： 计算题；概率与统计．
分析： 根据题意得；数据x1，x2，?，xn的方差为a，根据方差公式计算出数据3x1﹣2，3x2﹣2，?，3xn﹣2的方差是什么．
解答： 解：根据题意，设数据x1，x2，?，xn的平均数设为， ∴方差s=[
2
++?+]=a；
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，?，3xn﹣2的平均数为3﹣2， 方差S=[
2
++?+]
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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com =9?[
+
+?+
]
=9a=9； ∴a=1．
故答案为：1．
点评： 本题考查了方差公式的运用问题，解题的关键是根据题意得到平均数的变化，再利用方差公式进行计算，是基础题． 6．（5分）执行如图所示程序框图，若p=80，则输出的n的值为7．
考点： 循环结构．
专题： 算法和程序框图．
分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的S，p的值，当S=126，n=7时不满足条件S＜p，输出n的值为7．
解答： 解：执行程序框图，有 p=80 n=1，s=0
满足条件S＜p，有S=2，n=2 满足条件S＜p，有S=6，n=3 满足条件S＜p，有S=14，n=4 满足条件S＜p，有S=30，n=5 满足条件S＜p，有S=62，n=6 满足条件S＜p，有S=126，n=7
不满足条件S＜p，输出n的值为7． 故答案为：7．
点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 7．（5分）如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x和y，则logx（y﹣1）=1的概率为．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
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专题： 概率与统计．
分析： 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6×6种结果，满足条件的事件需要先整理出关于x，y之间的关系，得到y=x+1，根据条件列举出可能的情况，根据概率公式得到结果
解答： 解：因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由logx（y﹣1）=1知y=x+1（x＞1），
所以，满足条件的事件有：（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）共4种， 则logx（y﹣1）=1的概率为P=故答案为：
点评： 本题考查等可能事件的概率，考查对数的运算，通过列举的方法得到需要的结果，本题是一个综合题，注意对于对数式的整理． 8．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2，设P={x|f（x+t）＜2}，Q={x|f（x）＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（3，+∞）．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断．
分析： 本题考查的充要条件的定义，根据题设条件及“谁大谁必要，谁小谁充分”，可得P?M，然后再根据集合包含运算关系，判断出参数满足的不等式，即可求出实数t的取值范围． 解答： 解：又∵f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣4，f（2）=2， ∴Q={x|f（x）＜﹣4}={x|x＜﹣1}，
P={x|f（x+t）＜2}={x|x+t＜2}={x|x＜2﹣t}， ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件 ∴P?M，
则2﹣t＜﹣1 则t＞3 故答案为：（3，+∞）
点评： 本题考查充要条件，解题的关键是理解充分不必要条件的含义，将其正确转化为两个集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力 9．（5分）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为
的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于
πcm．
3
=；
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由题意知，弧长为
×8=2π，
即围成圆锥形容器底面周长为2π， 所以圆锥底面半径为r=1， 可得圆锥高h=3，
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