[解] r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB， 而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B， tan ∠OB′B＝
|OB|π
＝1，∴∠OB′B＝4， |BB′|
ππ?π?a，，?. ?θ＝∠AOB＝4.∴点P的球坐标为
?44?
[对应学生用书P21]
一、选择题
1．点M的直角坐标是(－1，3)，则点M的极坐标为( ) π??
A.?2，3? ??2π??2，C.? 3???
π??
B.?2，－3? ??
π??2，2kπ＋D.?，k∈Z 3???
解析：选C ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. ?x＝ρcos θ，
又?
?y＝ρsin θ，
1
cos θ＝－2，??∴?
3
sin θ＝??2.
2
∴θ＝3π＋2kπ，k∈Z.
2π??
2，2kπ＋?即点M的极坐标为，k∈Z. 3???
2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A．x2＋y2＝0或y＝1 C．x2＋y2＝0或x＝1
B．x＝1 D．y＝1
解析：选C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x2＋y2＝0，或ρcos θ＝x＝1. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A．一条射线和一个圆
B．两条直线
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C．一条直线和一个圆 D．一个圆
解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.
π??
4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q?1，2?的最近距离等于
??( )
A.2－1 C．1
B.5－1 D.2
解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即2－1.
二、填空题
5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．
x2y2
解析：原方程化为直角坐标方程为4－6＝1，
∴c＝a2＋b2＝10，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(10，0)，(－10，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(10，0)，(10，π)．
答案：(10，0)，(10，π)
ππ??
6，，?，则它的直角坐标为________． ?6．点M的球坐标为
?32?ππ
解析：x＝6·sin2·cos 3＝3， ππ
y＝6sin2sin3＝33， π
z＝6cos2＝0，
∴它的直角坐标为(3,33，0)． 答案：(3,33，0)
7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos
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θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，
解得，y1＝3，y2＝－3，所以|AB|＝|y1－y2|＝23. 答案：23
8．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________． 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为42－22＝12＝23.
答案：23 三、解答题
9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换． ?X＝ax?a>0?，解：设变换为?将其代入方程X2＋Y2＝1，
?Y＝by?b>0?，得a2x2＋b2y2＝1.
x2y2
又∵4x＋9y＝36，即9＋4＝1，
2
2
∴?
1??a＝9，
221b??＝4.
又∵a>0，b>0，
11∴a＝3，b＝2.
1X＝??3x，1Y＝??2y.
∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为?
π??5π??
10．已知A，B两点的极坐标分别是?2，3?，?4，6?，求A，B两点间的距
????离和△AOB的面积．
解：求两点间的距离可用如下公式： |AB|＝?5ππ?
4＋16－2×2×4×cos?6－3?＝20＝25.
??
11?5ππ?1
S△AOB＝2|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝22×4×sin?6－3?＝2×2×4＝4.
??
π??
11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C?3，6?，半径为1.Q点在圆周上运动，
??
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O为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
OQ2
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程． QP3解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C上任意一点．在△OCM中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝??π??θ－6??.根据余
弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ??π??θ－6??
.化简整理，
得ρ2－6·ρcos ???θ－π6???＋8＝0为圆C的轨迹方程．
(2)设Q(ρ1，θ1)，
则有ρ21－6·ρ1
cos ?
??θ1－π6???
＋8＝0.① 设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρρ2
1∶(ρ－1)＝2∶3?ρ1＝5ρ， ?2又θ?ρ1＝1＝θ，所以?5ρ，??θ1＝θ.
代入①得42?25ρ2－6·5ρcos??θ－π6?
??
＋8＝0， 整理得ρ2－15ρcos???θ－π6???
＋50＝0为P点的轨迹方程．
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