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www.jyeoo.com PR所在的直线方程为，即， 则点R的横坐标，=； PQ所在的直线方程为，即， 由，得，由得点Q的横坐标为，==， ∴则当t=2时，f（t）min=4． 由，不妨设t＞0，记， ，得△PQR的面积的最小值为16． 点评： 本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题． 28．（2014?宿迁一模）已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H． （1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围． 考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 直线与圆． 分析： （1）先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程； （2）设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围． 解答： 解：（1）由题意，A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0 ∵BC：y=x﹣1，BC中点是（2，1） ∴BC的垂直平分线是y=﹣x+3 由，得到圆心是（0，3），∴r= ∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3． 设l：y=k（x﹣3）+2，则d==3，∴k=，∴l的方程y=x﹣2； 当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意． 综上，直线l的方程是x=3或y=x﹣2； （2）直线BH的方程为3x+y﹣3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
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www.jyeoo.com 因为点M是点P，N的中点，所以M（）， 又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即 因为该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以（2r﹣r）≤（3﹣6+m）+（2﹣4+n）≤（r+2r）， 又3m+n﹣3=0， 222所以r≤10m﹣12m+10≤9r对任意m∈[0，1]成立． 而f（m）=10m﹣12m+10在[0，1]上的值域为[222222，10]，所以22且10≤9r． ． 2又线段BH与圆C无公共点，所以（m﹣3）+（3﹣3m﹣2）＞r对任意m∈[0，1]成立，即故圆C的半径r的取值范围为[，）． 点评： 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度． 29．已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）
考点： 轨迹方程． 专题： 计算题；交轨法． 分析： 根据题意，设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），直线PA的方程是，直线QB的方程是，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点；当a≠0时，直线PA与QB相交， ．当设交点为M（x，y），能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程． 解答： 解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长， 所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数 由此 ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是（1）当，即a=0时， 直线PA和QB平行，无交点 （2）当a≠0时，直线PA与QB相交， 设交点为M（x，y），由（2）式得， ∴将上述两式代入（1）式，得 整理得x﹣y+2x﹣2y+8=0， 22即 当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式 所以（*）式即为所求动点的轨迹方程． 点评： 本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式． 30．（2014?湖南模拟）如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，|OC|=，点P，Q满足
，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若过点F（﹣1，0）且斜率不为零的直线与点M的轨迹相交于G，H两点，直线AG和AH与定直线l：x=﹣4分别相交于点R，S，试判断以RS为直径的圆是否经过点F？说明理由．
考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 向量与圆锥曲线． 分析： （1）设出动点M的坐标，由已知求出A、B、C、D的坐标，由已知的向量关系得到DP和CQ的直线方程，两式相乘消参后得到点M的轨迹方程； （2）设出过点F（﹣1，0）且斜率不为0的直线CH的方程，和（1）中求出的曲线方程联立后利用根与系数关系得到G、H两点的纵坐标的和与积，把直线AG、AH的方程分别用G、H的坐标表示，求出R和S的坐标，代入数量积 ，整理后再代入根与系数关系，化简后可得解答： 解：（1）设点M的坐标为（x，y），A（2，0），B（=0，从而证得答案． ），C（0，），D（）． ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 由由于是，当λ≠0时， 直线DP的方程为：直线CQ的方程为：，① ．② ，得点P坐标为（2λ，0）， ，得点Q的坐标为（2，）． ①×②得，，即． ）也满足上式， 当λ=0时，点M即为点C，而点C的坐标（0，故点M的轨迹方程为； （2）设过点F（﹣1，0）且斜率不为0的直线CH的方程为x=my﹣1，且设G（x1，y1），H（x2，y2）， 由，得（3m+4）y﹣6my﹣9=0 ③ 2222由于方程③的判别式△=（﹣6m）+36（3m+4）＞0， ∴y1，y2是方程③的两根，且又A（2，0）， ∴直线AG的方程为，因此点R的坐标为． ． 同理可得，直线AH的方程为，因此点S的坐标为． ∴2=． 又（x1﹣2）（x2﹣2）=（my1﹣3）（my2﹣3）=my1y2﹣3m（y1+y2）+9 =． 于是=． 故点F在以RS为直径的圆周上． 点评： 本题考查了轨迹方程的求法，是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题． ?2010-2014 菁优网
