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www.jyeoo.com 考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）利用条件，根据椭圆的定义，可求动点G的轨迹Ω的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程与椭圆方程联立，根据MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，可得则有解答： 解：（Ⅰ）由焦点的椭圆， 设该椭圆的标准方程为由题知c=1，， 222则b=a﹣c=2﹣1=1， 故动点G的轨迹Ω的方程是．（4分） ，， ，利用向量的数量积公式，结合韦达定理，即可求出实数m的取值范围． ，且，知，动点G的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为（Ⅱ）假设在线段OF2上存在M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形． 直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 由可得（1+2k）x﹣4kx+2k﹣2=0． 2222∴，．（6分） ，由于MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形， ∴，则有，，其中x2﹣x1≠0． ，（8分） 从而（x2+x1﹣2m，y2+y1）?（x2﹣x1，y2﹣y1）=0， ∴（x2+x1﹣2m）（x2﹣x1）+（y2+y1）（y2﹣y1）=0， 又y=k（x﹣1）， 则y2﹣y1=k（x2﹣x1），y2+y1=k（x2+x1﹣2）， 故上式变形为，（10分） 将22代入上式，得， 即2k﹣（2+4k）m=0， ∴（k≠0），可知． 故实数m的取值范围是．（13分） 点评： 本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
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www.jyeoo.com 24．（2014?日照二模）已知定点F（0，1）和直线l：y=﹣1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点A的坐标为（2，1），直线l1：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l于点S，T．试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由． 考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，即可求曲线E的方程； （2）确定以线段ST为直径的圆的方程，展开令x=0，即可求这两个定点的坐标． 解答： 解：（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离， 故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分） ∴曲线E的方程为x=4y．…（2分） 22（2）设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），依题意得，x1=y1，x2=y2． 22y=kx+1代入x=4y，消去y得x﹣4kx﹣4=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．…（3分） 直线AB的斜率kAB==， 2故直线AB的方程为y﹣1=令y=﹣1，得x=2﹣∴点S的坐标为（2﹣， （x﹣2）．…（4分） ，﹣1）．…（5分） ，﹣1）．…（6分） 同理可得点T的坐标为（2﹣∴|ST|=|2﹣2﹣（2﹣）|=|2|=2．…（8分） 设线段ST的中点坐标为（x0，﹣1）， 则x0=（2﹣+2﹣）=2﹣=﹣．…（9分） ∴以线段ST为直径的圆的方程为2．…（10分） 令x=0，得（y+1）=4，解得y=1或y=﹣3．…（13分） ∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，﹣3）．…（14分） 点评： 本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 25．已知圆M：（x+1）+y=1，圆N：（x﹣1）+y=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
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www.jyeoo.com 考点： 轨迹方程；直线与圆的位置关系． 专题： 压轴题；直线与圆． 分析： （I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可； （II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，220）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）+y=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 2222解答： 解：（I）由圆M：（x+1）+y=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）+y=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R， ∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4， 而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b=a﹣c=3． ∴曲线C的方程为．（去掉点（﹣2，0）） 222（II）设曲线C上任意一点P（x，y）， 由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）+y=4． ①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=． ②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）， 22由l于M相切可得：，解得． 当时，联立，得到7x+8x﹣8=0． 2∴∴|AB|=，=． =时，也有|AB|=或． ． 由于对称性可知：当综上可知：|AB|=点评： 本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 26．（2014?广东）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的每一个焦点为（
，0），离心率为
．
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www.jyeoo.com （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 考点： 轨迹方程；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得． （2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1?k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程． 解答： 解：（1）依题意知，求得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为+=1． （2）设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0， +=+22=1，整理得（9k+4）x+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）﹣4]=0， 2222△=[18k（y0﹣kx0）]﹣4（9k+4）×9[（y0﹣kx0）﹣4]， 222∴（x0﹣9）k﹣2x0×y0×k+（y0﹣4）=0， ∴﹣1=k1?k2=22=﹣1， ∴x0+y0=13． 22∴点P的轨迹方程为：x+y=13． 点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系． 27．（2014?浙江模拟）已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y=﹣1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值． 考点： 轨迹方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程； （2）化（1）中的抛物线方程为函数式，设出P点坐标，求出函数导函数，得到切线PR的方程，代入y=﹣1求得点R的横坐标，求出PQ所在直线方程，和抛物线联立化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值． 解答： 解：（1）设C（x，y）， 22由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|﹣y=4， 2222即x+（y﹣2）﹣y=4，整理得：x=4y． 2∴动圆圆心的轨迹C的方程为x=4y； （2）C的方程为x=4y，即2，故，设， ?2010-2014 菁优网
