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- (13 分)已知函数?■—
:. ■ . I .-
(I)求，—■,的值；
(U)求f (x)在区间」■上的最大值和最小值.
2
【解答】解：(I)因为「冷「，「二+二:
二一
=1.
I,
(U) ?? _
2
=2s in xcosx_2cosx— 1, =sin 2x+cos2x, = .：、| 二, 因为：二二 所以，
故 < ■「in .：：
4 Z
o
_
当....—，即〉时，f (X)有最大值「
当―一匚二丁，即-—时,f (X)有最小值-1. “ 4 4 2
16. (13分)已知｛an｝是等比数列，满足a2=6, a3=— 18,数列｛bn｝满足5=2,且 ｛2bn+an｝是公差为2的等差数列.
(I)求数列｛&｝和｛bn｝的通项公式； (U)求数列｛bn｝的前n项和.
【解答】(本题13分) 解：(I)设数列｛ch｝的公比为q,
(
巧二 5 q二 6
…(2分)
— 3 I Q — —1 8
解得ai= - 2, q=-3分) 所以,.._ I…：…(5 分)
令 Cn=2bn+an,则 Ci=2bi +ai =2, Cn=2+ ( n- 1)x 2=2门…(7 分) ，-y；■■-第13页(共15页)
??( 9 分) ???数列｛bn｝的前n项和:
Sn= (1+2+3+-+ n) +[ (- 3) °+[ (- 3) + (- 3) 2+ (- 3) 3+-+ (- 3) n-1]
??? (13 分)
17. （13分）已知函数 :..■ ： -1 .. _，其中 a>0.
（I）当a=2时，求曲线y=f （x）在点（1, f （1））处的切线方程； （U）求f
（x）在区间［1, e］上的最小值.（其中e是自然对数的底数） 【解答】解：
a2
（I）
当
=时L-P T ' - ■-,
」
，…（1分） 此时，f (1) =- 1, f (1) =0,…(2 分) 故曲线y=f
，
（x）在点（1, f （1））处的切线方程为y=- 1.…（3 分）
的定义域为（0, +X）…（4 分）
一-二「」「???（ 5 分） 令f （x） =0得，x=a或x=1???（6分） ①当0v a< 1时，
对任意的1vxv e, f (x)> 0, f (x)在[1, e]上单调递增…(7分) f (x)最小=f (1) =1 - a-- (8 分)
第14页（共15页）
②当1v av e时,
x (1, a) — a 0 极小 (a, e) + / f (x) f ( x)
??? (10 分)
f (x)最小=f (a) =a- 1—(a+1) ?lna ???( 11 分) ②当a>e时，对任意的1 vxve, f (x)v 0, f (x)在［1, e］上单调递减…(12分)
…(13分) ［IF
r 金 令rm ( a-l-(a+l)\ 由①、②、③可知，g(a) =
e-(a+l)
0 巳 18. （13分）如图，在四边形ACBD中，.「一 [，且△ ABC为正三角形. （I）求 cos/ BAD 的值； （U）若 CD=4, ，求 AB 和 AD 的长. 【解答】解：（I）因为II ■' 所以 ci:;. - V ■ ,,/ CAD �（0,冗） cos BAD= , ■.：.亠二. / [=—丄「亠」 (U )设 AB=AC=BC=x AD=y ,在 △ ACD和△ ABD中 由余弦定理得 AC2+AD2-2AC ? AD8 日 ZC AD 二 CD 2 L AB 2 +AD 2-2AB ? ADCOSZBAD=BD 2y=16 第15页（共15页） 即二 Ji',:二二- 19. (14分)已知函数 f(x)=V2exsinx (0 (I)求f (x)的单调区间； (U)求证：1是g (x)的唯一极小值点； (E)若存在a，b�( 0， n)，满足f (a) =g (b)，求m的取值范围.(只需写 出结论) 【解答】解：(I)因为：丄.，^ _匚- _丄| =7八;i .■ | :， 令 f (x) =0,得心“?—-!- 因为0vXV n,所以乂冷…(3分) 当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下： x (0>孚兀) + / 0 (寻兀,兀) — f (x) f (x) 极大值 ??? (5 分) 故f (x)的单调递增区间为仁，丄-一1, f (x)的单调递减区间为；宁 l ”. (6分) (U)证明：??? g (x) = (x- 1) lnx+m.ig，(Q二 I 丄相(x>0), ??- (7 分) 设二：|； I 二…丄-：,贝U h : 故g' (乂)在(0, +x)是单调递增函数，???(8分) 又Tg' (1) =0,故方程g' (x) =0只有唯一实根x=1?- (10分) 当x变化时，g' (X), g ( X)的变化情况如下: X (0, 1) 第16页(共15页) 1 (1, +X)
