1.7.2 定积分在物理中的应用
一、基础过关
1． 一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s
间行进的路程为 A．1 m C．3 m
( )
B．2 m D．4 m
2． 一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，
则AB间的距离为 A．120 m C．360 m
( )
B．437.5 m D．480 m
3． 以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高
度为
( )
160
A. m 340
C. m 3
80B. m 320D. m 3
4． 如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功
为
( )
A．0.5 J C．50 J
B．1 J D．100 J
??10 ?0≤x≤2?
5． 一物体在力F(x)＝?(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x
?3x＋4 ?x>2??
＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为
( )
B．46 J D．50 J
A．44 J C．48 J
6． 做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的
方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是
( )
B．e D．e－1
A．1＋e 1
C. e
二、能力提升
7．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为________．
8． 有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t
－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________． 9． 把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，
q
距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F＝k2(其中k为常数)确定．在该
r电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r＝a处移动到r＝b(a 1 10．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在 s～6 s间的运动路程． 211．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速 度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功． 12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒) 在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？ 三、探究与拓展 13．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向 一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． 答案 1．D 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．0.36 J 8．144 cm3 qq9．k－k ab 10．解 由题意，得 2t?0≤t≤1?，??2?1≤t≤3?，v(t)＝? 1??3t＋1?3≤t≤6?， 由变速直线运动的路程公式，可得： 1 ＋?63(t＋1)dt 3 112649＝t2|1＋2t|3(m)． 1＋(t＋t)|3＝264 149 所以该物体在 s～6 s间的运动路程是 m. 24 11．解 物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中 k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0； a1 当x＝a时，t＝(). b3所以阻力所做的功为 a12 W阻＝?avdt 0F阻dx＝?()0kv·b3a1 ＝?()09kb2t4·3bt2dt b3a1 ＝?()027kb3t6dt b3 27a12727＝kb3t7|()0＝kb·a. 7b3733 12．解 依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解． 设a秒后物体A比B多运动5米，则 A从开始到a秒末所走的路程为 a23sA＝?a0vAdt＝?0(3t＋1)dt＝a＋a； B从开始到a秒末所走的路程为 a2sB＝?a0vBdt＝?010tdt＝5a. 由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5. 此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)． 故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米． 13．解 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4， 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， 当t>4时，P点向x轴负方向运动． 故t＝6时，点P离开原点的路程 42s1＝?0(8t－2t2)dt－?64(8t－2t)dt 22 ＝(4t2－t3)|40－(4t2－t3)|64 33＝128. 3 2 当t＝6时，点P的位移为?60(8t－2t)dt 2＝(4t2－t3)|6＝0. 30 (2)依题意知?t0(8t－2t2)dt＝0， 2 即4t2－t3＝0， 3解得t＝0或t＝6， t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．
