（Ⅱ）．，①，② ②﹣①得，===． 点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和． 20．（2014?天津三模）已知数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列{
an}的前n项和为Tn，证明：n∈N且n≥3时，Tn＞
n
n﹣1
*
*
+2（n∈N），数列{bn}满足bn=2an．
*n
；
*
（3）设数列{cn}满足an（cn﹣3）=（﹣1）λn（λ为非零常数，n∈N），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N，都有cn+1＞cn． 考点： 等差数列的性质；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列． ﹣分析： （1）由已知条件推导出2nan=2n1an﹣1+1．由此能证明{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出an=． =（n+1）?（），利用错位相减法能求出Tn=3﹣． nn﹣1n（2）由（1）知且n≥3时，Tn＞．再用数学归纳法能证明n∈N*（3）由an（cn﹣3）=（﹣1）可得（﹣1）解答： n﹣1λn可求得cn，对任意n∈N，都有cn+1＞cn即cn+1﹣cn＞0恒成立，整理+?λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决． +2（n∈N）中， *（1）证明：在Sn=﹣an﹣令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=， 当n≥2时，Sn﹣1=﹣an﹣1﹣（）n﹣2+2， ， an﹣1+1． ∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣an+an﹣1+（）∴2an=an﹣1+（）nn﹣1nn﹣1，即2an=2n﹣1∵bn=2an，∴bn=bn﹣1+1，即当n≥2时，bn﹣bn﹣1=1， 又b1=2a1=1，∴{数列bn}是首项和公差均为1的等差数列． n于是bn=1+（n﹣1）?1=n=2an， ∴an=． ，∴=（n+1）?（）， n（2）证明：∵
∴Tn=2×+3×（）+…+（n+1）×（），① =2×（）+3×（）+…+（n+1）×（）①﹣②，得：=1+23n+12n，② =1+﹣（n+1）?（）n+1 =∴Tn=3﹣， ． ∴Tn﹣=3﹣=n， ∴确定Tn与的大小关系等价于比较2与2n+1的大小． *下面用数学归纳法证明n∈N且n≥3时，Tn＞①当n=3时，2＞2×3+1，成立 k②假设当n=k（k≥3）时，2＞2k+1成立， k+1k则当n=k+1时，2=2?2＞2（2k+1） =4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1， ∴当n=k+1时，也成立． 于是，当n≥3，n∈N时，2＞2n+1成立 ∴n∈N且n≥3时，Tn＞（3）由**n3． ． ， 得nn﹣1n =3+（﹣1）?λ?2， n+1nn+1nn﹣1n∴cn+1﹣cn=[3+（﹣1）?λ?2]﹣[3+（﹣1）?λ?2] nn﹣1n=2?3﹣3λ（﹣1）?2＞0， ∴，① ，② 当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1， 当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为依题意，③式对k=1，2，3…都成立， ∴，∴，又λ≠0， *③， ∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N有cn+1＞cn． 点评： 本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相
减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握． 21．（2014?天津模拟）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，
．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： （1）根据b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程组，即可求出an与bn； （2）由an=3n，bn=3n﹣1，知cn=an?bn=n?3，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn． 解答： 解：（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn， 等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，． n∴b2=b1q=q，，（3分） 解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分） ∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分） （2）∵an=3n，bn=3n﹣1， n∴cn=an?bn=n?3， ∴数列{cn}的前n项和 23nTn=1×3+2×3+3×3+…+n×3， 234n+1∴3Tn=1×3+2×3+3×3+…+n×3， 23nn+1∴﹣2Tn=3+3+3+…+3﹣n×3 ==∴Tn=×3n+1﹣n×3n+1 ， ． ﹣n×3﹣n+1点评： 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用． 22．（2009?河西区二模）已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求an的表达式；
（2）若cn=﹣anbn，试问数列{cn}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有cn≤ck成立？并证明你的结论． 考点： 等比数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用等比数列的通项公式、解答： 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10， ∴，解得， 、分类讨论的思想方法即可得出． ∴an=2+1×（n﹣1）=n+1． （2）∵Sn是首项为1，公比为的等比数列的前n项和， ∴nb1+（n﹣1）b2+…+2bn﹣1+bn=（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2bn﹣2+bn﹣1=①﹣②得b1+b2+…+bn=当n=1时，b1=Tn=1， 当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1==． ，即，① …+，② ． ∴．． 于是cn=﹣anbn设存在正整数k，使得对?n∈N，都有cn≤ck恒成立． 当n=1时，当n≥2时，==，即c2＞c1． *． ． ∴当n＜7时，cn+1＞cn； 当n=7时，c8=c7； 当n＞7时，cn+1＜cn． *∴存在正整数k=7或8，使得对?n∈N，都有cn≤ck恒成立． 点评： 熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法是解题的关键． 23．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=
（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．
