矢量和张量 vectors and tensors
中山大学理工学院 黄迺本教授
(2005级,2007年3月)
如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.
——Galileo
经典电动力学的研究对象
——电磁相互作用的经典场论 ——狭义相对论
——电动力学的相对论协变性
主要数学工具
微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.
教材和参考书
教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997 参考书：
[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004 [2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978 [3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005 [4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959
[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003 [6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005
[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986
矢量和张量 目录(contens)
1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors) 2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors) 3.?函数(? function) 4.球坐标系和柱坐标系
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1 矢量和张量代数
在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：
0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是 空间转动下的不变量.
例如，空间中任意两点之间的距离r，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.
1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集 合.
例如，空间中任意一点的位置矢量r，质点的速度v和加速度a,作用力F和
力矩M,质点的动量p和角动量L、电流密度J,电偶极矩p,磁偶极矩m,电场强度E,磁感应强度B,磁场矢势A，等等都是矢量.
2阶张量(tow order tensor)，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序 集合.
例如，刚体的转动惯量I,电四极矩D,等.
3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合. 矢量表示
印刷——用黑体字母，如 r , A
??????书写——在字母上方加一箭头，如 r,A
正交坐标系的基矢量
正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量e1,e2,e3的正交性可表示为
?1ei?ej??ij???0i?j (1.1) i?j一般矢量A有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成
A?A1e1?A2e2?A3e3??Aei?13ii (1.2)
矢量的乘积
两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足
A?B?B?A (1.3) A?B??B?A (1.4)
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A?(B?C)?B?(C?A)?C?(A?B) (1.5) A?(B?C)?B(C?A)-C(A?B) (1.6)
并矢量与二阶张量
两个矢量A和B并置构成并矢量
AB?(A1e1?A2e2?A3e3)(B1e1?B2e2?B3e3)?i,j?1?ABeeiji3j (1.7)
它有9个分量AiBj和9个基eiej，一般地AB?BA.三维空间二阶张量也有9个分量Tij，它的并矢量形式与矩阵形式分别为
??T?i,j?1?Teeiji3j
(1.8)
?T11T???T21??T31T12T22T32T13?T23?? (1.9) T33??张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：
trT?T11?T22?T33 (1.10)
单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是
??I?e1e1?e2e2?e3e3 (1.11)
?100??I??010?? (1.12)
??001??因此(Ⅰ.1)式中的符号?ij实际上是单位张量的分量.
对称张量与反对称张量 若Tji?Tij，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若Tji??Tij，称之为反对称张量，由于T11?T22?T33?0，反对称张量只有3个独立分量.
任何张量Tij均可写成一个对称张量Sij与一个反对称张量Aij之和，即Tij?Sij?Aij，只需使Sij?(Tij?Tji)/2，Aij?(Tij?Tji)/2.
二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有
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A?T????Ae??Tee??AT?kkijijkijk,i,jijijkkkijikijkiej??ATeiijijjijij (1.13)
??T?A??Tee??Ae??ATe?ijki,j,kjk??ATeij (1.14)
一般地A?T?T?A . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：
A?I?I?A?A (1.15)
????????并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：
(AB):(CD)?(B?C)(A?D) (1.16)
2 矢量和张量分析
（1）算符?和?2
物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:
温度T、静电势?的分布都构成标量场；
电流密度J、电场强度E、磁感应强度B、磁场矢势A的分布都构成矢量场. ?是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，?????2是二阶齐次偏导数运算的标
量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中
?2?2?2???2 ，??2?2?2 (2.1) ??ex?ey?ez?x?y?z?x?y?z三个基矢量ex,ey,ez均是常矢量.
（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field) 标量场?在某点的梯度
???ex?????? (2.2) ?ey?ez?x?y?z是一个矢量，它在数值上等于?沿其等值面的法向导数，方向沿?增加的方向，即
???d?n (2.3) dn例如静电势?的分布是一个标量场,????E即变成矢量场——静电场.
（3）矢量场的散度(divergence of a vector field) 矢量场A通过某曲面S通量(flux)定义为
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