新授课:2.1.2 演绎推理
教学目标
重点: 了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 难点: 掌握演绎推理的基本方法.
知识点:理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理. 能力点:通过典型例子,让学生亲身体验演绎推理的实施步骤与必要性.
教育点:通过大量的实例,体会一般到特殊的探究路程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情,培养学生的
归纳概括能力.
自主探究点:如何发现推理过程中的错误. 考试点:用三段论解决问题.
易错易混点:演绎推理和合情推理的联系与区别. 拓展点:引导学生总结“三段论”的基本思想.
一、引入新课
(一)复习回顾:合情推理
1.归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.
2.一般过程:从具体问题出发------观察、分析、比较、联想------归纳、类比------提出猜想. 3.合情推理的结论不一定成立. (二)创设情境:
歌德是18世纪德国的一位著名的文艺大师.有一位与其文艺思想相左的文艺批评家,生性古怪,态度傲慢.—天,歌德与他“狭路相逢”,不期而遇.这位文艺批评家见歌德迎面走来,不仅没有有礼貌地打招呼,反而目中无人,高傲地往前直走,并卖弄聪明地大声说:“我从来不给傻子让路!”面对这十分尴尬的情景,歌德镇定自若、笑容可掬,谦恭地闪避一旁,并机智而礼貌地答道:“呵呵,我可恰恰相反.”故作聪明的文艺批评家顿时怔然,讨了个没趣,只得默然离去.
在这故事里,无论是文艺批评家还是歌德,各自都只说了一句,而且话语非常简练,极为深刻,话中有理,语中有刺.他们的对话,体现了演绎推理的三段论法.
【设计意图】通过已学知识的回顾,进一步认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法.通过一个有趣的小故事,激发了学生的学习热情,提高了学生的发散思维能力;同时又让学生初步感知演绎推理,体会到学习数学的实用性,使学生保持良好的、积极的情感体验.学生会觉得有趣,增加对逻辑推理的兴趣,对学好逻辑推理是有帮助的.
二、探究新知
在日常生活和数学学习中,我们还经常以某些一般的判断为前提,得出一些个别的、具体的判断.例如:
(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;
(2)太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运
行;
(3)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除; (4)三角函数都是周期函数,tan?是三角函数,所以tan?是周期函数;
(5)两条直线平行,同旁内角互补.如果?A与?B是两条平行直线的同旁内角,那么?A??B?180.
1
探究一:演绎推理的概念.
观察上述例子,它们的推理有什么特点?有什么样的推理形式?
1.演绎推理的概念:上面的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.
【设计意图】通过大量的例子让学生明确每一个例子的推理特点,从中概括出演绎推理的推理过程,得出演绎推理的含义,结合具体例子体会演绎推理是由一般到特殊的推理;把问题留给学生去解决,充分调动学生的学习积极性.
探究二:演绎推理的一般模式.
观察上述例子,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?
上面列举的演绎推理的例子都有三段,称为三段论.第一段是已知的一般性原理,称为“大前提”,如“所有金属都能够导电”;第二段是所研究的特殊情况,称为“小前提”,如“铀是金属”;第三段是对特殊情况作出的判断,称为“结论”,如“铀能够导电”. 2.三段论是演绎推理的一般模式:
(1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
问题1:请同学们分别指出例子中的三段论.
问题2:小故事中的演绎推理的三段论分别是什么? 文艺批评家推理的三段论:
大前提 我从来不给傻子让路!
小前提 (你歌德是傻子——省略).
结 论 (我不给你让路——行动表明,省略). 歌德推理的三段论:
大前提 我可恰恰相反(即我只给傻子让路). 小前提 (你文艺批评家是傻子——省略). 结 论 (我给你让路——行动表明,省略).
虽然歌德和文艺批评家都只讲了大前提,但由于是当面对话,且辅有一定动作,所以小前提和结论都省略了.但“听话听声,锣鼓听音”,谁都能准确无误地理解对方的意思.
其实在推理过程中,有很多地方都要用到这种方式即:“三段论”. 其模式可表述为: 大前提:M是P. 小前提:S是M.
结 论:S是P.
应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提显然,则可以省略.
【设计意图】回扣引入,前后呼应,交代清楚三段论的形式特点. 探究三:演绎推理的正确性.
分析下列推理是否正确,说明为什么?
(1)自然数是整数, (2)整数是自然数,
3是自然数, ?3是整数,
2
3是整数. (正确) ?3是自然数. (大前提错误) (3)自然数是整数, (4)自然数是整数,
?3是自然数, ?3是整数,
?3是整数. (小前提错误) ?3是自然数. (推理形式错误)
3.演绎推理的正确性:演绎推理中只要前提和推理形式正确,结论必定正确.当大前提、小前提、推理形式
三者有一个错误时,结论就有可能错误.
【设计意图】通过学生自主探究,进一步理解和掌握演绎推理概念的内涵和外延,培养学生归纳、概括、拓展、提出问题和解决问题的能力,使学生对知识的掌握上升一个更高的层次.
三、理解新知
1.演绎推理的概念:上面的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称
为演绎推理(又称为逻辑推理).演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.三段论是演绎推理的一般模式: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况;
(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:[来源:学§科§网]
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.[ 4.演绎推理的正确性:演绎推理中只要前提和推理形式正确,结论必定正确.
演绎推理错误的主要原因是:(1）大前提不成立;（2）小前提不符合大前提的条件.在课堂上要让学
生领悟到解答演绎推理题时的方法技巧.在演绎推理题中,前提与结论之间有必然性的联系,结论不能超出前提所界定的范围.
5.三段论的三个组成部分有时是可以省略的,不必严格写出,注意把握分寸. 6.合情推理与演绎推理的区别与联系:
从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.
从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化,系统化,合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想.
【设计意图】加深对演绎推理定义的理解,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.
四、运用新知
例1 把“函数y?x?x?1的图像是一条抛物线”恢复成三段论.
解:二次函数的图象是一条抛物线…………………………………………………………………………大前提 函数y?x?x?1是二次函数……………………………………………………………………………小前提 所以,函数y?x?x?1的图像是一条抛物线……………………………………………………………结论 【设计意图】用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.
3
222变式训练:
因为指数函数y?a是增函数……………………………………………………………………………大前提 而y?()是指数函数……………………………………………………………………………………小前提 所以y?()是增函数………………………………………………………………………………………结论 上面的推理形式正确吗?推理的结论正确吗?为什么?
答案:上述的推理形式是正确的,但大前提是错误的.这是因为指数函数y?a(0?a?1)是减函数,所以得到的结论是错误的.
【设计意图】演绎推理只有在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论才一定正确.
C例2 如图所示,在锐角三角形ABC中,
DEAD?BC,BE?AC,
xx12x12xD,E是垂足.
求证:AB的中点M到D,E的距离相等.
AMB证明 :(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,…………………………………………大前提 在△ABC中,AD?BC,即?ADB?90?,……………………………………………………………小前提 所以△ABC是直角三角形. …………………………………………………………………………………结论同理, △ABC也是直角三角形.
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, …………………………………………………大前提 而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, …………………………………………小前提
1AB. …………………………………………………………………………………………结论 21同理,EM?AB.
2所以,DM?EM.
所以DM?【设计意图】本例是学生熟悉的证明题,设置的目的是挖掘其中所包含的推理思路,使学生明确演绎推理的基本过程,突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”.针对许多学生不十分清楚证明的逻辑规则,在表述过程中杂乱无章的现象,通过本例的教学,希望有所改善. 变式训练: A 如图,空间四边形ABCD中,点E、F分别是 AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD. EF 证明:连接E、F,B、D,
B D
因为点E、F分别是AB、AD的中点,所以EF∥BD. 又EF?平面BCD,BD?平面BCD, 所以EF∥平面BCD. C
【设计意图】事实上,许多学生能写出证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则,先让学生自己写出证明过程,再标明相应的大前提、小前提和结论.另外,对什么时候省略大前提也要有个交待,避免不必要的繁琐.
例3 证明函数f(x)??x?2x在(??,1)内是增函数.
证明:满足对于任意x1，x2?D,若x1?x2,有f(x1)?f(x2)成立的函数f(x)是区间D上的增函数.
4
2
