德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文 由定理4,得
??ydx 22?01?xy关于y在[c,??),?c?0?上一致收敛于
定理 5 含参量反常积分
???,在(0,??)内非一致收敛. 2?f(x,y)dx
a关于y在区间I上一致收敛于?(y)的充要条件是：对任意
?n???,?yn??I:yn?I(n?1,2,?),都有 ??n???a,???:limn???nn???lim?f(x,yan)dx??(yn)?0.
?? 例6 试证
ydx关于y在(0,??)内非一致收敛. 2?(x?y)1证明 显然
??ydx 2?1(x?y)关于y在(0,??)内收敛于
y.取?n?n,yn?n(n?1,2,?),那么就有1?yn???lim?n???,yn?(0,??)(n?1,2,?),但是
?nlim?n??1ynynyn11dx??lim?lim?
(x?yn)21?ynn???n?ynn??22??由定理5,
??x?y?1y2dx关于y在?0,???内非一致收敛.
2.6 用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性
定理6 （狄利克雷判别法）设 i)对一切实数N?0,含参变量反常积分
N?f?x,y?dx
c9
德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文 对参变量y在?a,b?上一致有界,即存在正数M,对一切N?c及一切y??a,b?,都有
N
?f?x,y?dx?M；
cii)对每一个y??a,b?,函数g?x,y?关于x是单调递减且当x???时,对参变量y,g?x,y?一致地收敛于0,
则含参变量反常积分
??
在?a,b?上一致收敛.
?f?x,y?g?x,y?dx
c 例7 对于?a??0,1?,讨论含参量反常积分
?的一致收敛性.
解 i)对于?A?0,都有
??0xasinxdx x?10?A0sinxdx?2.
'a?1 ii)因为
?x??x???x?10??x?10?a
?ax?10??x?2???,当
x?10a1?a?x??0,即x在?10a,???上单调递减,并且limx?0.因此时,????x?101?ax?10???x?10?ax???'由狄利克雷判别法可知,含参量反常积分
???10a1?axasinxdx x?10?10a?对?a??0,1?是一致收敛的.而在?0,上是定积分,必收敛,则对?a??0,1?是?1?a??一致收敛的. 所以含参量反常积分
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?对?a??0,1?是一致收敛的.
??0xasinxdx x?102.7 用阿贝尔判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性
定理7 （阿贝尔判别法）设
??i)?f?x,y?dx在?a,b?上一致收敛;
cii)对每一个y??a,b?,函数g?x,y?为x的单调函数,且对参变量y,g?x,y?在
?a,b?上一致有界,
则含参变量反常积分
???f?x,y?g?x,y?dx
c在?a,b?上一致收敛.
例8 证明含参变量反常积分
???xy?e0sinxdx x在?0,d?上一致收敛.
证明 由于反常积分
??sinxdx ?x0收敛,（当然,对于参变量y,它在?0,d?一致收敛）,函数g?x,y??e?xy对每一个
x??0,d?单调,且对任何0?y?d,x?0,都有
g?x,y??e?xy?1,
故由阿贝尔判别法即得含参变量反常积分
???xye?0sinxdx x11
德州学院 数学科学学院 2013届 信息与计算科学专业 毕业论文 在?0,d?上一致收敛.
推论1 设函数f(x,y)定义在无界区域?a,?????c,d?上,且对y的偏导数
fy(x,y)存在.若下列条件满足
1）对每一个y??c,d?,反常积分
?收敛；
??af?x,y?dx
2）存在常数M?0,使得对任意b?0及所有的y??c,d?,恒有 即
?bafy?x,y?dx?M,
?关于b及y??c,d?一致有界.
则含参量反常积分
bafy?x,y?dx
?在?c,d?上一致收敛.
??af?x,y?dx
证明 由于?c,d?为有限闭区间.根据有限覆盖定理,对任给的??0,一定存在有限个点c?y0?y1?????yn?1?yn?d,使得?c,d????yi?1,yi?且yi?yi?1??.
i?1n由于反常积分
?A,A1?A0??,yi?有
??af?x,y?dx
收敛,于是对任给的yi?i?1,2,???,n?,都存在A0??,yi?,使得对任给的
?A1Af?x,yi?dx??,i?1,2,???,n （3）
另一方面,对任意的y??c,d?,一定存在一点yi,使得y?yi??.令
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