2π3
事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为2－，
3
2π3
2－
3π
根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝＝1－。 3
212π
【答案】 1－
12
反思归纳 求与长度、面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路为：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的区域，在图形中构成事件A的区域的测度
画出事件A发生的区域，然后用公式P(A)＝求出概率。
试验的全部结果所组成的区域的测度
考点四 随机模拟的应用 【典例6】 (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，，
yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A.C.4n mn2nB. mn4m 2mD. ??0≤xn≤1
【解析】 设由?
?0≤yn≤1?
构成的正方形的面积为S，xn＋yn<1构成的图形的面积为S′，
22
1
πS′4m4m所以＝＝，所以π＝。故选C。
S1nn【答案】 C
反思归纳 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随
- 9 -
机模拟估计概率P(A)＝
随机取的点落在A中的频数
，然后根据
随机取点的总次数
P(A)＝
构成事件A的区域面积
列等式求A的面积。为了方便解题，我们常常设计出一
随机取点的全部结果构成的区域面积
个规则的图形(面积为定值)来表示随机取点的全部结果构成的区域。
【变式训练】 随机地向半圆0 域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率。 4 【解析】 半圆域如图所示： 2 设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于 π ”，由几何概型的概率计算公式4 A的面积 得P(A)＝ 半圆的面积 1122 πa＋a4211＝＝＋。 12π2πa211 【答案】 ＋ 2π 微考场 新提升 1．2016年暑假里，甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( ) A.C.1 365 36 11 1B. 91D. 6 解析 最后一个景点的选法有：C6C6＝36， - 10 - 选择同一景点的选法有：C6C1＝6， 61 所以P＝＝。故选D。 366答案 D 2．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.5 12 B.7 12 11 1C. 31D. 2 解析 ∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n。 基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 155 ∴P＝＝，故选A。 3612答案 A 3．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A．7.68 C．16.32 B．8.68 D．17.32 300－96 解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68。由几何概 300型的概率计算公式，可得 答案 C 4．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________。 解析 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222。 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112。 - 11 - S椭圆 ＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32。故选C。 S矩形 所以基本事件共有8种。 1 又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为。 41答案 4 5．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________。 142V半球12 解析 V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为。 233V圆柱332 答案 3 - 12 -
