试题解析：（1）解：由f(x)?x3?ax?b，可得f?(x)?3x2?a，下面分两种情况讨论： ①当a?0时，有f?(x)?3x2?a?0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(??,?).
②当a?0时，令f?(x)?0，解得x?3a3a或x??. 33当x变化时，f?(x)、f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x)
(??,?3a) 3?3a 30 (?3a3a,) 33? 3a 30 极小值 (?3a,??) 3? 单调递增 ? 单调递增 极大值 单调递减 所以f(x)的单调递减区间为(?3a3a3a3a,)，单调递增区间为(??,?)，(?,??). 3333（2）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（1）知a?0且x0?0.
（3）证明：设g(x)在区间[?1,1]上的最大值为M，max{x,y}表示x，y两数的最大值，下面分三种情况讨论： ①当a?3时，?3a3a??1?1?，由（1） 知f(x)在区间[?1,1]上单调递减， 33所以f(x)在区间[?1,1]上的取值范围为[f(1),f(?1)]，因此，
M?max{[f(1),f(?1)]}?max{|1?a?b|,|?1?a?b|}?max{|a?1?b|,|a?1?b|}
?a?1?b,b?0, 所以M?a?1?|b|?2. ???a?1?b,b?0,②当
323a3a3a23a?a?3时，?， ??1????1?43333由（1）和（2） 知f(?1)?f(?23a3a23a3a)?f()，f(1)?f()?f(?)， 33333a3a),f(?)]， 33所以f(x)在区间[?1,1]上的取值范围为[f(所以max{|f(3a3a2a2a|,|f(?)|}?max{|?3a?b|,|3a?b|} 3399
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】
1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f′(x)；
[来源:学优高考网gkstk]
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．
(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可
分类讨论求得单调区间．
2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
