第4章 正弦交流电路
正弦交流电路，是指电路的电压和电流大小和方向随时间按正弦规律变化的电路。现代生产和生活中所使用的交流电一般是指正弦交流电。本章着重学习和掌握正弦交流电路的基本概念及交流电的几种表示方法，交流电路中电压和电流的关系及电功率的计算，并对谐振现象及特征要有一定的了解。
4.1交流电的产生和基本概念
大小和方向都随时间作正弦规律变化的电压和电流，分别称为交流电压和交流电流。统称为交流电。
交流电广泛应用于工业生产、科学实验和日常生活，它和直流电相比有两个重要优点：一是交流电压可以用变压器改变电压，二是交流电机比同功率的直流电机结构简单，造价低。 4.1.1 交流电的产生
根据电磁感应定律可知，导体在磁场中作切割磁力线运动时，导体中便产生感应电动势。若磁场按正弦规律变化，则感应电动势也按正弦规律变化，交流发电机就是根据这一原理制成的。
如图4.1所示是交流发电机的结构示意图。磁极N、S固定不动，线框abcd可绕轴旋转。 线框平面与磁力线垂直的位置称为中性面，线框平面经过中性面时，由于线框ab、cd边不切割磁力线，此时线框内没有交流电产生；当线框平面经过垂直中性面位置时，ab、cd边切割磁力线产生的电动势最大。线框在磁场中旋转产生的感应电动势为
e?Emsin(?t??0) （4.1）
式中Em为幅值或最大值，ω为角频率，?0为交流电的初相。
因为感应电动势e 在不同时刻具有不同的数值，且时正时负，所以常把e称为电动势的瞬时值。习惯上用小写字母表示随时间变化的量，上式即为交流电的瞬时值表达式。
由（4.1）式可见，电动势随时间按正弦规律变化，这种按正弦规律变化的电动势称为正弦
电动势，或称正弦交流电。 4.1.2 正弦量的三要素
（4.1）式表示了电动势与时间的正弦函数关系，我们把最大值、角频率和初相称为正弦量的三要素。因此，只要已知了正弦量的三要素，即可写出它的表达式。例如，若知Um、ω、?0即可得电压表达式
u?Umsin(?t??0) （4.2）
1.幅值（最大值）
即瞬时值中最大值称为幅值（最大值），通常用大写字母加小写下标表示（如Um、Im）。瞬时值和最大值都是表示正弦量变化大小的量。
2.角频率
交流电变化一周所需的时间称为周期，用T表示，单位为秒（s）。交流电在一秒钟内变化的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹（Hz），频率与周期的关系
f?1 （4.3） T我国和大多数国家采用50Hz作为电力系统的供电频率，这种频率习惯上称为工业频率（工频）。在其它不同技术领域内使用不同的频率。
角频率在数值上等于单位时间内交流电变化的角度，用字母ω表示，单位为弧度/秒（rad/s）。因为正弦交流电变化一周期相当于正弦函数变化2л弧度，所以
??2??2?f （4.4） T周期、频率和角频率都能表示正弦量变化的快慢。 3.相位和初相
式（4.1）、（4.2）中(?t??0)称为交流电的相位角，简称相位，单位是弧度。也可用度，它反映了正弦量的变化过程。
当t=0 时的相位称为初相，其值与计时起点有关，用来确定正弦量的初始值，如图4.2所示。 4.1.3 相位差
设有交流电的电压和电流表达式
i u?Umsin(?t??u) i?Imsin(?t??i)
则电压和电流的相位差为
0 图4.2 正弦交流电的波形图 t ???(?t??u)?(?t??i)??u??i （4.5）
即两个同频率的正弦量的相位差等于它们的初相差。常用??表示。 当??＞0时，表示电压的相位超前电流的相位。 当??＜0时，表示电压的相位滞后电流的相位。 当??=0时，表示电压与电流同相位。 当??=л时，表示电压与电流相位相反。 当????2时，表示电压与电流相位正交。
0【例题4-1】 已知某一交流电的电压最大值Um=10V，f=50Hz ，???60，试写出该交流电压的瞬时值表达式。
解： 由已知条件得
u?Umsin(?t??)?10sin(314t?60)V
00【例题4-2】 在某一交流电路中，电流和电压的瞬时值表达式分别为i?5sin(?t?45)
u?100sin(?t?900)，试求u 、i的相位关系。
解： u、i的相位差为
????u??i??90?45??135V 即电压相位滞后于电流135°。
000§4.2 交流电的表示方法
在交流电路中，由于电路中的电流、电压是同频率的正弦量，存在着不同的相位关系，所以在分析计算电路中的电流电压问题时，常用不同的表示方法来表示正弦交流电。交流电的表示方法有图像法、解析法、相量法。下面分别介绍。 4.2.1 图像法
即根据交流电的表达式，在平面直角坐标系中，纵坐标表示瞬时值，横坐标表示电角度，用描点法画出的图线即为正弦交流电的波形图。如图4.2所示为 电流--时间图线。 图示法直观，能够直接确定交流电的三要素，但画图较麻烦，误差较大。 4.2.2 解析法
即利用数学三角函数式表示正弦交流电的方法。利用正弦交流电的三要素，带入正弦函数式
中即可得正弦交流电的各种解析式：
u?Umsin(?t??u)
i?Imsin(?t??i)
【例题4-3】 已知一正弦交流电的电流Im = 10A，f = 50Hz ，φ= 30°，试写出其解析式，并求t = 0 、t = 0.00165s时的瞬时值。 解： 解析式为
i?Imsin(?t??i)?10sin(100?t?300)当t?0时 i?10sin300?5A
当t?0.00165s时i?10sin(314?0.00165??8.66A【例题4-4】 图4.3是某一正弦电流的图像。求Im、I、T、ω、φ，并写出瞬时值表达式。 解: 根据图像测量出 （1）Im = 10A (2) T = 0.2s (3) φ = л/2 根据上述结果计算得：
?6)i 0 图4.3 正弦交流电的波形图 t 2211?5HzI = f??
T0.2??2?f?2??5?10?(rad/s)∴ 瞬时值表达式为 i?10sin(10?t?4.2.3 相量法
我们把表示随时间变化的正弦量的有向线段，叫相量，通常用大写字母，且在字母上加“ ? ”
I?Im?10?7.07A?2)
?、电流相量I?。相量是既有大小又有方向的矢量。 表示，例如电压相量U?和有效值相量U?之分；在实数平面直角坐标系上，用有向线交流电的相量有最大值相量Um
