图2 图3 图4
（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形： ①当四边形AEOD为平行四边形时，
②当四边形ADEO为平行四边形时，
BE32． ?CD20BE2． ?CD10BE272． ?CD20③当四边形AODE为平行四边形时，
考点伸展
如图5，第（3）题这样解：
1515252，AC＝． ，解得AB＝777BE'BO1327??，得BE'?2，所以BE?2． 由
BABC577CDCO42030??，得CD?由，所以CD'?． CACB577在△ABC中，已知BC＝5，BC边上的高为结合图5，可以计算出
BE322272，或． ?CD201020四、河北2009如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每
秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每
秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设P、Q运动的时间是t秒（t>0）．
（1）当t＝2时，AP＝_____，点Q到AC的距离是________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）； （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
5 / 45
思路点拨
1．第（1）题求点Q到AC的距离，暗示了第（2）题求△APQ的高的方法．
2．分类讨论直角梯形QBED的存在性，按照DE与AB、AC平行的可能性分两种情况，列方程的依据是Rt△AQP的三边比为3∶4∶5．
3．分类讨论DE经过点C，按照P运动的方向分两种情况，列方程的依据是PC＝QC．
满分解答
（1）1；
8． 5（2）如图2，作QF⊥AC于F．
在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，所以BC＝4，sinA?4． 544，所以QF?t． 55114226因此S?AP?QF?(3?t)?t??t?t．
22555在Rt△AQF中，AQ＝t，sinA?（3）①如图3，当DE//QB时，∠AQP＝90°．在Rt△AQP中，AP＝3?t，AQ＝t，cosA?所以
QP3?，AP59t3?．解得t?．
83?t5②如图4，当DE//BC时，∠APQ＝90°．在Rt△AQP中，AP＝3?t，AQ＝t，cosA?AP3?，所以QP53?t315?．解得t?． t58
图2 图3 图4
6 / 45
（4）t?
545或t?． 214考点伸展
第（4）题可以这样解：过点Q作QG⊥BC于G，那么
18?3??4?QC2?QG2?GC2??(5?t)???t??t2?t?9．
5?5??5?518t?9．解得t?．
251822②如图6，点P由A向C运动，DE经过点C，此时PC＝6－t．由PC2?QC2，得(6?t)?t?t?9．解
545得t?．
1422①如图5，点P由C向A运动，DE经过点C，此时PC＝t．由PC2?QC2，得t?t?22情形①还可以用几何说理解答：由于CQ＝CP＝AQ，所以∠QAC＝∠QCA．
根据等角的余角相等，因此∠B＝∠BCQ．所以CQ＝BQ．于是得到Q是AB的中点，t?5． 2
图5 图6
五、（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、
F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合． （1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】解：（1）证明：如图，连接AC
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，
7 / 45
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2，
11S四边形AECF?S?ABC??BC?AH?BC?AB2?BH2?43。
22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直
时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF?43?∴△CEF的面积的最大值是3。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。 【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可
得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S的面积就会最大。
四边形AECF
1?23?2?23????322?3。
－S△AEF，则△CEF
六、（2012四川南充8分）在Rt△POQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，
以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B， (1)求证：MA=MB
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。
8 / 45
