动点问题汇总
一、如图1，直线y??4x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
3（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
满分解答
（1）直线y??4x?4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC3＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，sinB?如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
44，所以NH?t． 55S?11424?OM?NH?(2?t)?t??t2?t． 22555定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
S?定义域为2＜t≤5．
11424?OM?NH?(t?2)?t?t2?t． 22555
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图2 图3
②把S＝4代入S?22424t?t，得t2?t?4．解得t1?2?11，t2?2?11（舍去负值）．因此，5555当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时t?2?11．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ?5?t，cosB?35?t3?．解得，所以
5t5t?25． 8如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t?5．不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t?25或者t?5时，△MON为直角三角形． 8
图4 图5
二、已知Rt△ABC中，?ACB?90?，CA?CB，有一个圆心角为45?，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在?ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2?AM2?BN2；
思路点拨：考虑MN2?AM2?BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN?BN，?MDN?90?就可以了．请你完成证明过程．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2?AM2?BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
思路点拨
1．本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM，证明△BCN≌△DCN． 2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明?DCN??BCN．
3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．
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满分解答
（1）如图3，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM．因此CD?CA，DM?AM，?DCM??ACM，?CDM??A．
CD?CB??ENC??DFC?45M???DC，又由CA?CB，得 ．由?DC?BCN??ACB??ECF??ACM?90??45???ACM?45???ACM，得?DCN??BCN．
又CN?CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN?BN，?CDN??B． 所以?MDN??CDM??CDN??A??B?90?．
在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2?DM2?DN2．即MN2?AM2?BN2．
图3 图4
（2）关系式MN2?AM2?BN2仍然成立．
如图4，将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM≌△ACM． 所以CD?CA，DM?AM，?DCM??ACM，?CDM??CAM．
又由CA?CB，得 CD?CB．由?DCN??DCM??ECF??DCM?45??BCN??ACB??ACN?90??(?ECF??ACM)?45???ACM，得?DCN??BCN．
?又CN?CN，所以△CDN≌△CBN．因此DN?BN，?CDN??B?45．
，
又由于
?CDM??CAM?180???CAB?135?，
???所以?MDN??CDM??CDN?135?45?90．
222在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN?DM?DN．即MN2?AM2?BN2．
三、太原2008 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y?x?1与y??3x?3交于点A，分别交x
4轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出
BE的值；如果不存在，请说明理由． CD 3 / 45
图1
思路点拨
1．数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标． 2．分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论．
3．在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3∶4∶5．
4．画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形．
满分解答
（1）在y?x?1中，当y?0时，x??1，所以点B的坐标为(?1,0)．在y??3x?3中，当y?0时，4?y?x?1,815??815?x?4，Ax?y?所以点C的坐标为（4，0）．解方程组? 得，．点的坐标为3所以?,?．
77y??x?3,?77???4（2）因为点D在直线y??三种情况：
①如图2，当DB＝DC时，设底边BC上的高为DM．在Rt△CDM中，CM?33x?3上，设点D的坐标为(x,x?3)．当△CBD为等腰三角形时，有以下
4415BC?，所以22315?315?DM?CM?．这时点D的坐标为?,?．
48?28?②如图3，当CD＝CB＝5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）．根据对称性，点D关
于点C对称的点D′的坐标为（8，－3）．
③如图4，当BC＝BD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN．在Rt△BCN中，BC＝5，所以CN＝4，因此DC＝8．在Rt△DCM中，DC＝8，所以DM?324432DC?，DM?DC?．这时点D的坐标为5555?1224???,?． ?55?综上所述，当△CBD为等腰三角形时，点D的坐标为??315??1224?（0，3）、（8，－3）或??,,?、?．
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