空间向量
知识点
一、空间向量及其运算
1．空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa. 推论
→→
如图所示，点P在l上的充要条件是OP＝OA＋ta①
概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b
→→→→→→→
其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB或OP＝(1－t)OA＋tOB. (2)共面向量定理
→→
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋
1 / 29
→→→→→→→→→
yMB或对空间任意一点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝ 1 . (3)空间向量基本定理
如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作π
〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
2②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 向量表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3·b1＋b2＋b3
二、向量方法证明平行与垂直
2 / 29
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量
?n·a＝0，?
的方程组为?
?n·b＝0.?
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.
三、向量方法求空间角和距离
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
范围 求法 2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ|a·n|
＝|cos β|＝.
|a||n|3．求二面角的大小
l1与l2所成的角θ π(0，] 2|a·b|cos θ＝ |a||b|a与b的夹角β [0，π] cos β＝a·b |a||b| 3 / 29
→→
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离
→
设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.
(2)点到平面的距离
→→|AB·n|
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.
|n| 4 / 29
