基于MATLAB的红外图像增强算法研究
A2jf?x,y??f?x,y?*??x,y?;11D2jf?x,y??f?x,y?*??x,y?;Df?x,y??f?x,y?*?22j3D2j?x,y?;f?x,y??f?x,y?*?3?x,y?.2 （18）
其中A2jf?x,y?是近似图，对应于原图像的低频模拟分量，其余3幅是细节子图：
12D2jf?x,y?对应于垂直方向上的高频分量，Djf?x,y?对应于水平方向上的高频分量，23而D2jf?x,y?对应的是对角线方向上的高频分量。
利用小波变换的分解和重构原理对图像进行分解，其过程如图2所示。
图2 基于小波变换的图像分解
原图像首先分解为低频信息L和高频信息H，然后把L分解为低频部分LL1和高频部分LH1，把H分解为低频部分HL1和高频部分HH1。可根据需要把结果部分继续分解[18]。
二维小波分解原理如图3所示，重构（或重建）即是分解的逆过程。
以??y?沿y方向处理3?????????Df?x,y??以??x?沿x方向处理2j????????x方向的细节?以??y?沿y方向处理2????????Df?x,y????2jf(x,y)?????以??y?沿y方向处理1 ????????D2?以??x?沿x方向处理jf?x,y???x方向的近似?以??y?沿y方向处理????????A2jf?x,y???????????图3 二维小波分解
从多尺度分析可以看出，空间的每次剖分包含两部分：一部分是图像信号通过低通滤波后得到的低频概貌；另一部分是通过带通滤波(小波变换)得到的图像高频细节。对于低频概貌，重复以上过程，最终把图像信号分解成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。
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2.4 小波变换在信号奇异性检测上的应用
利用小波分析检测信号突变点的一般方法是：对信号进行多尺度分析，在信号出现突变时，其小波变换后的系数具有模量极大值，因而可以通过对模量极大值点的检测来确定故障发生的时间点。
小波变换在信号奇异性检测上的应用的仿真程序如下所示： t=0:pi/125:4*pi;
s1=sin(t); %设置一正常信号
s2=sin(10*t); %设置一故障信号，表现在频率的突变 s3=sin(t); %设置一正常信号 s=[s1,s2,s3]; %整个信号 subplot(421);plot(s); title('原始信号'); Ylabel('s ');
[c,l]=wavedec(s,6,'db3'); %采用db3小波并对信号进行六层分解 apcmp=wrcoef('a',c,l,'db3',6); %重建近似系数 subplot(422);plot(apcmp); Ylabel('c a 6'); for i=1:6
decmp=wrcoef('d',c,l,'db3',7-i); %重建细节系数 subplot(4,2,i+2);plot(decmp); Ylabel(['d ',num2str(7-i)]); end
运行以上程序得到的仿真结果如图4所示：
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原始信号10-10.505001000150020002c a 60-210500100015002000d 6s 0-0.520500100015002000d 50-10.50500100015002000d 40-20.20500100015002000d 30-0.50.050500100015002000d 20-0.20500100015002000d 10-0.050500100015002000
图4 小波变换在信号奇异性检测上的仿真
从图4的小波分解的层系数可以明显看出，在t=500时，系统工作出现了异常情况，在t=1000时，系统工作又恢复了正常。
从该例可以看出，小波分析在检测信号突变点（奇异点）上具有比傅里叶变换无法比拟的优越性，并且定位非常精确，利用小波分析可以精确地检测出信号突变时间点。
2.5 小波包的基本理论
所谓小波包，简单地说就是一个函数族。由它们构造出L2?R?的规范正交基库。从此库中可以选出L2?R?的许多组规范正交基，所以小波包是小波概念的推广[19]。
多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分。小波包分析（Wavelet Packet Analysis）能够为信号提供一种更加精心的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时—频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。
关于小波包分析的理解，在这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图5所示。
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S A1 D1 AA2 DA2 AD2 DD2 AAA3 DAA3 ADA3 DDA3 AAD3 DAD3 ADD3 DDD3 图5 小波包分解树
上图中，A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示小波包分解的层数（也即尺度数）。在这里信号S可以表示为很多种分解方式，比如： S=AA2+ADA3+DDA3+D1 S=A1+AD2+DD2
S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。
实际处理过程一般是根据信号的能量，来决定进一步分解的策略。
3 基于小波变换的边缘检测
小波变换是传统的Fourier变换的继承和发展，具有一定的分析非平稳信号的能力，主要表现在高频处的时间分辨率高，频率分辨率低，低频处的频率分辨率高，时间分辨率低，即具有变焦特性，因此特别适合于图像这一类非平稳信号的处理。经典的边缘检测算子都没有自动变焦的思想。事实上，由于物理和光照的原因，图像中的边缘通常产生在不同的尺度范围内，形成不同类型的边缘(如缓变和非缓变边缘)，这些信息是未知的。另外图像中还存在有噪声，因此，根据图像特性的自适应正确检测出图像的边缘是非常困难的。可以肯定，用单一尺度的边缘检测算子不可能检测出所有的边缘，同时，为避免在滤除噪声时影响边缘检测的正确性，用多尺度的方法检测边缘越来越引起人们的重视。小波变换具有良好的时—频局部化特性及多尺度分析能力，适合检测突变信号，是检测突变信号强有力的工具，得到广泛的应用。
3.1 基于边缘检测的小波基函数选取准则
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