答案：
152、已知椭圆
xa22?yb220)，F2(c，0)，若椭圆?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1(?c，上存在点P（异于长轴的端点），使得csin?PF1F2?asin?PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 153、已知函数f(x)?x?px?1（p为常数且p?0），若f(x)在区间(1,??)的最小值为4，
则实数p的值为 .
154、已知t为常数，函数f(x)?x?3x?t?1在区间??2,1?上的最大值为2，则实数
3t? ．
155、已知椭圆
xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为
32，椭圆的左、右两个顶点分别为A，
B，AB=4，直线x?t(?2?t?2)与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值．
ca32222y l:x=t M A 2O N ?1， B x 解：（1）由题意：?,2a?4可得：a?2,c?3,b?a?c故所求椭圆方程为：
x4?y2?1 ?????????3分
（2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标(t,4?t24?t2)，N的坐标(t,?24?t22)，
线段AM的中点P(t?22,4?t42)，直线AM的斜率
2?t2?t
)?4?t4k1?2t?2?122?t2?t ????5分
又
PC1?AM, ?直线
PC1k2??2的斜率
2?t2?t(x?t?222?直线
PC1y??2的方程，
41
?C1的坐标为
C1C2?3(3t?68,0) 同理C2的坐标为
(3t?68,0)?????????? 8分
?2,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.????? 11分
3t?1082（2）圆C1的半径为
S??AC12AC1?，圆C2的半径为?(9t?100)2BC2?10?3t8，
则
??BC2?32 （?2＜t＜2）
显然t?0时，S最小，
Smin?25?8. ????? 15分
156、已知圆C：x2?y2?4.
（1）直线l过点P?1,2?，且与圆C交于A、B两点，若|AB|?23，求直线l的方程; （2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量
?????????????，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. OQ?OM?ON解：（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x?1，l与圆的两个交点坐标为1,3和1,?3，其距离为23，满足题意
????②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y?2?k?x?1?，即kx?y?k?2?0 设圆心到此直线的距离为d，则23?24?d∴1?|?k?2|k?122，得d?1
，k?34， 故所求直线方程为3x?4y?5?0
综上所述，所求直线为3x?4y?5?0或x?1
（Ⅱ）设点M的坐标为?x0,y0?，Q点坐标为?x,y? 则N点坐标是?0,y0?
?????????????∵OQ?OM?ON， ∴?x,y???x0,2y0? 即x0?x，
y0?y2
又∵x?y?4，∴x?20202y24?4
由已知，直线m //ox轴，所以，y?0，∴Q点的轨迹方程是
y216?x24?1(y?0)，
42
轨迹是焦点坐标为F1(0,?23),F2(0,23)，长轴为8的椭圆，并去掉(?2,0)两点．—15分 157、已知圆M的方程为x2?(y?2)2?1，直线l的方程为x?2y?0，点P在直线l上，过P点
作圆M的切线PA,PB，切点为A,B．（1）若?APB?60?，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C,D两点，当CD?2时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A,P,M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.
解：（1）设P(2m,m)，由题可知MP?2，所以(2m)2?(m?2)2?4，解之得：m?0,m?故所求点P的坐标为P(0,0)或P(,)． ?????????4分
558445
（2）设直线CD的方程为：y?1?k(x?2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为
22，所以
22??2k?11?k172， ??????????6分
解得，k??1或k??分
，故所求直线CD的方程为：x?y?3?0或x?7y?9?0．??8
（3）设P(2m,m)，MP的中点Q(m,m2?1)，因为PA是圆M的切线
所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为：(x?m)?(y?222m2?1)?m?(22m2?1)???????????10分
2化简得：x?y?2y?m(x?y?2)?0，此式是关于m的恒等式， ?x2?y2?2y?0,?x?0?x?1,故?解得?或?
y?2y?1.x?y?2?0,???所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).?????????????14分
158、已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：a1?a，a2?a1，当n?N且
n?2时，an?f(an?1)且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)．
?其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{an}是等差数列，求k的值；
?（2）令bn?an?1?an(n?N)，若b1?1，求数列{bn}的通项公式；
43
解：（1）由已知an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，得
an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) (n?2,3,4,???)
由数列{an}是等差数列，得an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)
所以，an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，得k?1．???????5分 （2）由b1?a2?a1?0，可得
b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
且当n?2时，bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0 所以，当n?2时，
bnbn?1?an?1?anan?an?1?f(an)?f(an?1)an?an?1?k(an?an?1)an?an?1?k，???????4分
因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列．????????????????1分 159、已知以点P为圆心的圆经过点A??1,0?和B?3,4?，线段AB的垂直平分线交圆P 于点C和D，且|CD|?410.
(1)求直线CD的方程； ⑵求圆P的方程；
⑶设点Q在圆P上，试问使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论. 解：⑴直线AB的斜率k?1 ，AB中点坐标为?1,2? ，
∴直线CD方程为y?2???x?1?即x+y-3=0 （4分） ⑵设圆心P?a,b?，则由P在CD上得： a?b?3?0 ①
又直径|CD|?410,?|PA|?210,?(a?1)?b?40
????????又PA?PB?24
22∴ a?b?2a?4b?27?0 ② （7分）
22由①②解得
?a??3b?6或
?a?5b??2
44
