题8-13图(a) 题8-13图(b)
??(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如题8-13(b)图)
?????r??r则 EPO?，EPO???
3?03?0???∴ EP?EPO?EPO???3?0??(r?r?)??3?0OO'???d3?0
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由q=1.0×10
-6
C的两个异号点电荷组成，两电荷距离
d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
???解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩 M???p?E
∴Mmax?pE?qlE代入数字Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m
8-15 两点电荷q-8-8
=1.5×10C，=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间q12的距离变为r2=25cm，需作多少功?
解: A??r2r1??F?dr??r2q1q2dr4π?0r2r2?q1q24π?0(1r1?1r2)??6.55?10?6J
外力需作的功 A???A??6.55?10?6 J
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示
UO?14π?0(qR?qR)?0
qUc?14π?0(q3R?qR)??6π?0R
∴ A?q0(UO?UC)?
qoq6π?0R
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导
线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势． 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?则dq??Rd?产生O点dE?如图，由于对称性，O点场强沿y?Rd?cos?
?2轴负方向E??dEy??2??24π?0R?22??4π?0R??2π?0R［sin(?)?sin］ 题8-17图
?
(2) AB电荷在O点产生电势，以UU1???0
??A?dx4π?0xB??2R?dx4π?0x?4π?0Rln2
同理CD产生 U2??4π?0ln2， 半圆环产生 U3?πR?4π?0R??4?0
∴ UO?U1?U2?U3?
?2π?0ln2??4?0
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s
4
-1
的匀速率作圆周运动．求
带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强 E??2π?0r
电子受力大小 Fe?eE?e?2π?0rv2e?2π?0r
∴
2π?0mve2?mr得 ???12.5?10?13C?m?1
8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要
发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场，∴ U?Ed?1.5?104V
8-20 根据场强E与电势U?的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q?的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)． 解: (1)点电荷 U?q4π?0r
??U?q??r0?rr∴ E?? 00为r方向单位矢量． 题 8-20 图 2?r4π?0r(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势
U?4π?0qR2?x2
???U?qxi?i ∴ E??223/2?x4π?0?R?x?(3)偶极子
??p?ql在r??l处的一点电势
[(r?1l2cos?)?(1?1l2cos?)]?qlcos?4π?0r2U?q4π?0
∴ Er???U?r?pcos?2π?0r3
E???1?Ur???psin?4π?0r3
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向
的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
证: 如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均
匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，?3，?4
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱
??面为高斯面时，有 ?E?dS?(?s2??3)?S?0
∴ ?2??3?0
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； 题8-21图 (2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
?12?0??22?0??32?0??42?0?0
又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
8-22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C2
相距2.0 mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解: 如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
-7
