1 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取
(A)a?35,b??25(B)a?23,b?23(C)a??12,b?32(D)a?12,b??32
分析x???根据分布函数的性质：x???x???x???limF(x)?1,因此有即1?a?b
limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)故应选(A).?0, x?0?2. 设函数F(x)?? x2 , 0?x?1.则F(x)______.
?1 , x?1?(A) 是随机变量的分布函数. (B) 不是随机变量的分布函数. (C) 是离散型随机变量的分布函数. (D) 是连续型随机变量的分布函数. 解: A
显然F(x)满足随机变量分布函数的三个条件:
(1)F(x)是不减函数 ， (2) 0?F(x)?1,且F(??)?0,F(??)?1 ， (3)
F(x?0)?F(x)
?0, x?(*)?2?x3. 设F(x)?? , (*)?x?2 当(*)取下列何值时,F(x)是随机变量的分布函数.
?41 , x?2??(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5
解: A只有A使F(x)满足作为随机变量分布函数的三个条件.
三．简答
1 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,求A,B的值. 解:由随机变量分布函数的性质
x???limF(x)?0.x???limF(x)?1.
?2)?A?知
0?limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B?(?x???x????2B.
5
??A?B?0????2 1?limF(x)?lim(A?Barctanx)?A?B??A?B. 解?x???x???22??A?B?1??2得A?12,B?1?
第六节 连续随机变量的概率密度
一、选择
1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A （A） 0?f(x)?1 （B） 0?F(x)?1
（C） ???f(x)dx???1 （D） f(x)?F'(x)
2.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是( B )
（A） f(x)??sinx,0?x???? （B）f(x)???0,其它?sinx,0?x??2
??0,其它?0?x?3?（C） f(x)???sinx,2 （D）f(x)?sinx,???x??? ??0，其它二、填空
1.设连续随机变量X的分布函数为
F(X)?112??arctanx,???x???
(1)P(?1?X?1)? 0.5 ， (2)概率密度f(x)?1?(x2?1),???x???
三、简答题
1. 设随机变量X的概率密度
f(x)???Ax2e?x，x?0?0,x?0
求：（1）常数A；（2）概率P(X?1)。 答案 （1）
12 （2）0.9197
2. 设随机变量X的概率密度
6
）?c?x,??1?x?0f(x)??c?x,0?x?1 ??0,x?1求：（1）常数c；（2）概率P(X?0.5)；（3）分布函数F(x)。 ?0,x??1??12(1?x)2,?1?x?0答案 （1）1；（2）0.75；（3）F(x)???
??1?12(1?x)2,0?x?1??1,x?13.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目的地的距离X(m)的概率密度
?x2f(x)??1?1250xe?2500,x?0
??0,x?0如果弹着点距离目标不超过50m时，即可摧毁目标。求：
求：（1）发射一枚炮弹，摧毁目标的概率；
（2）至少应发射多少枚炮弹，才能使摧毁目标的概率大于0.95？ 答案 （1）0.6321 （2）n?3。 4.已知随机变量X的概率密度
f(x)?1?x2e,???x???，
求：分布函数F(x)。
?11?xx?0答案 F(X)?????2e,
?1??2ex,x?05.已知随机变量X的概率密度
?1?,0?x?1?3f(x)???2,3?x?6 ?9?0,其它??若k使得P(X?k)?23，则k的取值范围是
答案 1?k?3
第七节 均匀分布、指数分布
7
二、选择
1.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是( B )
?1?, （B）f(x)??3?0,?13,?3,（A） f(x)???0,?1?x?2其它?1?x?2其它
（C） f(x)?3,???x??? （D）f(x)????x???
2.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是( C ) ?2e?2x, （A） f(x)???0,x?1?1?e2, （C） f(x)??2?0,?x?0x?0 （B） f(x)?2e?2x,???x???
x?0x?0 （D）f(x)?12e?12x,???x???
二、填空
1.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布，则
(1)P(?6?x??1)? 0 , (2) P(?4?x?1)? ⑶ P(?2?x?3)? 1 , (4) P(1?x?6)?
1323 , , 三、简答题
1. 长度为l的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段之比小于
14的概率。
答案 0.4
2. 已知修理某种机器所需的时间T(小时）服从指数分布e(1)，求： （1）在2小时之内修好的概率；
（2）如果已修理了t0小时，在以后的2小时之内修好的概率。 答案 （1）0.8647 （2）0.8647
3.设随机变量X在区间?2,5?上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
1 答案 0.74。
4.某仪器有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：h）都服从同一指数分布，概率密度为
1?x?1600e,?f(x)??600?0,?x?0x?0
试求：在仪器使用的最初的200h内至少有一只电子元件损害的概率。
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