(1)求b；
(2)如图，D为AC边上一点，且BD⊥BC，求△ABD的面积．
解 (1)由sinB＋3cosB＝0得，tanB＝－3，又0 3. 由余弦定理得，b2 ＝a2 ＋c2 －2accosB ＝1＋4－2×1×2×???－12??? ＝7，所以b＝7. (2)由(1)得，cosC＝a2＋b2－c212ab＝＋7－42×1×7 ＝27 7， sinC＝1－cos2 C＝ 217，即tanC＝32 . 在Rt△BDC中，BD＝BC·tanC＝1× 32＝3 2 ， ∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝2πππ 3－2＝6， 所以S1 △ABD＝2×AB×BDsin∠ABD ＝12×2×3132×2＝4 . 15．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝2π3. (1)求sin∠ADB； (2)若∠BDC＝2π 3 ，求四边形ABCD的面积． 解 (1)如图，在△ABD中， - 17 - AB＝2，AD＝1，A＝ 由余弦定理，得 2π， 3 BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA， 即BD＝4＋1－2×2×1×cos 2 2π ，解得BD＝7. 3 ＝， sinAsin∠ADB在△ABD中，由正弦定理，得 BDAB即 7221＝，解得sin∠ADB＝. 2πsin∠ADB7sin 3 21. 7 (2)设∠CBD＝α，因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD＝α，所以sinα＝π272π 因为0<α<，所以cosα＝，因为∠BDC＝， 273所以sinC＝sin? ?π－α?＝sinπcosα－cosπsinα＝21. ?3314?3? 在△BCD中，由正弦定理得 BDsinC＝ BCsin∠BDC，即 ＝，解得BC＝7. 2π21 sin 314 7BC112173 所以S△BCD＝BD·BC·sinα＝×7×7×＝， 2272 S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝×2×1×sin 12122π3＝. 32 733 所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝＋＝43. 22 16. 如图，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－ b－c＝0. (1)求A； - 18 - 1129 (2)若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积． 72解 (1)acosC＋3asinC－b－c＝0， 由正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC， 即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC， 又sinC≠0，所以化简得3sinA－cosA＝1， 1 所以sin(A－30°)＝. 2 在△ABC中，0° (2)在△ABC中，因为cosB＝，所以sinB＝. 77所以sinC＝sin(A＋B)＝ 3114353×＋×＝. 272714 asinA7 由正弦定理，得＝＝. csinC5 129122 设a＝7x，c＝5x(x>0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即＝25x＋×49x44111 －2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsinB＝103. 272 三角函数与解三角形类解答题 (12分)已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－sinωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条 π 对称轴之间的距离为. 2 (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝3，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值． 解题思路 (1)首先将函数解析式化为“一角一函数”的形式，然后利用函数图象中对称轴之间的距离确定函数的周期，从而求得ω的值，最后利用换元法求得函数的递减区间；(2)根据第(1)问所得，利用f(A)＝1求得角A，再根据余弦定理建立b，c的关系式，利用基本不等式求得bc的最大值，将其代入面积公式即可． 解 (1)f(x)＝π?131－cos2ωx?sin2ωx－＋1＝sin?2ωx＋?＋.(3分) 6?222? 2 π2π 因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝π，即＝π，所以22ω - 19 - ω＝1.(4分) π?1?所以f(x)＝sin?2x＋?＋. 6?2?令 ππ3ππ2π ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)． 26263 2π?π?所以函数f(x)的单调递减区间为?＋kπ，＋kπ?(k∈Z)．(6分) 3?6?π?1π?π13π??(2)由f(A)＝1得sin?2A＋?＝.因为2A＋∈?，， 6?26?6?6??π5ππ 所以2A＋＝，得A＝.(8分) 663 π222222 由余弦定理得a＝b＋c－2bccosA，即(3)＝b＋c－2bccos，(9分) 3所以bc＋3＝b＋c≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c时等号成立．(11分) 11333 所以S△ABC＝bcsinA≤×3×＝. 2224故△ABC面积S的最大值为 33 .(12分) 4 2 2 1．化简：用诱导公式、和角公式、差角公式和倍角公式化简给3分． 2．求ω值：运用三角函数的对称轴及周期性求ω值给1分． 3．求单调区间：利用三角函数的单调区间求f(x)的单调区间给2分． 4．求角：已知三角函数值求角给2分． 5．建立关系式：利用余弦定理得出b，c的关系式给1分． 6．求最值：利用基本不等式求出bc的最大值给2分． 7．求面积最值：代入面积公式求最大值给1分． 1．发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析”． 2．寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． 3．合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化． 4．挖掘隐含：如定义域、锐角、三角函数值的正负对角的范围的影响，将已知的三角函数值与特殊角的三角函数值比较、缩小角的范围等等． [跟踪训练] (2019·天津九校联考)(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝c，且2sinB＝3sinA. - 20 -
