4. （2008盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
F
EAA AFF
CBBCDBDDECE
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出
相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
（1）①CF与BD位置关系是垂直,数量关系是相等 ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立 由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度 ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAB=∠FAC 又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
图甲
图乙 第28题图
图丙
（2）当∠BCA=45°时,CF⊥BD（如图）
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
5
可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45° ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°, 即CF⊥BD．
（2）画图正确，
当∠BCA=45o时，CF⊥BD（如图丁），
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG， 可证：△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o， 即CF⊥BD。（3）当具备∠BCA=45o时，
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊） ∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4， 设CD=x， ∴DQ=4-x，
容易说明△AQD∽△DCP，
∴，
∴，
∴， ∵0＜x≤3，
∴当x=2时，CP有最大值1。
5.（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．
D A B 图1
（第22题）
C 图2
E
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC?BE．
6
6．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接
BQ、CP，则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
6．（本题10分）（2008年武汉市）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF． ⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。 ①求证：DF＝EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） A D A D A D
P F
P(O) O F E O P
B C B B C C 图3
图1 图2
解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q， ①∵AC是正方形ABCD对角线， ∴∠QAP=∠APQ=45°，
AQAQPB图①
PCB图②
C 7
∴AQ=PQ，∵AB=QF，∴BQ=PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE=90°， ∵∠QBP+∠QPB=90°，∴∠QBP=∠FPE，∵∠BQP=∠PFE=90°，∴△BQP≌△PFE， ∴QP=EF，∵AQ=DF，∴DF=EF； ②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°， ∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形， ∴PA=2PG，PC=2CF， ∵PG=DF，DF=EF， ∴PA=∴PC=2EF， 2CF=2（CE+EF）==2CE+2EF=2CE+PA， 即PC、PA、CE满足关系为：PC= 2CE+PA；
7．（2008年沈阳市）已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：①BE?CD；②△AMN是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
△PBD∽△AMN．（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：
C
C N
N E D A B M
M D B
A E
图② 图①
第25题图
（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABE≌△ACD，
8
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