第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”. 答案 D
2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( ) A.充要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. 答案 A
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m( )
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 mα，m∥β不充分条件. 答案 B
14.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－x＋a为奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
α，则“m∥β”是“α∥β”的
α∥β，但mα，α∥β?m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1
解析 显然a＝0时，f(x)＝sin x－x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 答案 C
5.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
1
即m≥－4，不能推出m>0.所以不是真命题. 答案 C
6.设x∈R，则“1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 1 ＋a＋sin x－x＋a＝0. －x1 解析 由|x－2|<1，得1 7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3] 解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1. 答案 A 8.(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由ln a>ln b?a>b>0?a>b，故必要性成立. 当a＝1，b＝0时，满足a>b，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立. 答案 B 二、填空题 9.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 答案 2 10.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析 cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0， 即cos α＝±sin α. 由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立. ∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要 11.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________. 解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0 ∵p是q的充分不必要条件，∴MN， ??a>0，∴?解得0 ①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2 解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误.②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确. 答案 ②③ 13.(2016·四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足 ?y≥x－1， ?y≥1－x，则p是q的( ?y≤1， A.必要不充分条件 C.充要条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域. 故p是q的必要不充分条件. 答案 A
