年龄（岁） 频数 知道的人数 [10,20) m 4 [20,30) n 6 [30,40) 15 12 [40,50) 10 6 [50,60) 7 3 [60,70] 3 2 表中所调查的居民年龄在[10,20)，[20,30)，[30,40)的人数成等差数列． (Ⅰ)求上表中的m，n值，若从年龄在[20,30)的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；
(Ⅱ)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望．
17.（本小题满分12分）
已知向量m?(2sinx,?1)，n?(sinx?3cosx,?2)，函数f(x)?(m?n)?m．
(Ⅰ)求f(x)在区间[?,]上的零点；
22(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， a?4，△ABC的面积S?3，当x＝A时，函数f(x)取得极大值，求b?c的值．
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}，{bn}满足：a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n?1)?2n?1?2(n?N*). (Ⅰ)若{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(Ⅱ)若{an}是等差数列，且an≠0，问：{bn}是否是等比数列？若是，求{an}和{bn}的通项公式；若不是，请说明理由．
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABB1A1⊥底面ABC，AB?BC?CA?＝120°，D、E分别是BC、A1C1的中点．
(Ⅰ)试在棱AB上找一点F，使DE∥平面A1CF； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角A－A1C－F的余弦值． 20．（本小题满分13分）
已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x?4的距离的比值为(Ⅰ)求动点P的轨迹?的方程；
(Ⅱ)若过点F的直线与点P的轨迹?相交于M，N两点(M，N均在y轴右侧)，点A(0,2)、B(0,?2)，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．
资阳高三数学（理科）试卷 第5页（共4页）
??1∠A1ABAA1，
22． 2
21.（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x2?2x?alnx(a?R)．
(Ⅰ)当a＝2时，求函数f(x)在(1, f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若函数f(x)有两个极值点x1, x2(x1?x2)，不等式f(x1)?mx2恒成立，求实数m的取值范围．
资阳市高中2012级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见（理工类）
2,2}；13. 2一、选择题：BAACD，BDCCB． 二、填空题：11. ?22；12. {?1,5?1；14.
3a；15. ①③⑤. 3三、解答题：
16.（本小题满分12分）
?m?n?15,解析：(Ⅰ)由题?解得m?5，n?10．
m?15?2n,?记选取的两人至少有一人知道灭火器使用方法为事件A，
2C4613?． ·则P(A)?1?2?1?·················································································· 4分
C104515(Ⅱ)随机变量?的所有可能值为0，1，2，3．
22C6C46154515??， 则P???0??2?2??C5C1010452257521112C6C4?C6C4C441562410234P???1??2?2?2??????=， 2C5C10C5C10104510452257511122C4?C6C4C4C4424666622P???2??2????????=， 22C5C10C52C10104510452257512C4C446124P???3??2?2???=． ···································································· 10分
C5C10104522575所以?的分布列是： ? P 0 1 2 3 1534224 75757575 ······································································································································ 11分
15342246所以?的数学期望E??0??1??2??3??． ····································· 12分
75757575517.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)f(x)?(m?n)?m?(sinx?3cosx,1)?(2sinx,?1)
?23sinxcosx?2sin2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)． ······························ 3分
6资阳高三数学（理科）试卷 第6页（共4页）
?
k???(k∈Z)，
6212????5??因为x?[?,]，所以f(x)在区间[?,]上的零点是?，． ····················· 6分
22221212???(Ⅱ)根据题意f(A)?2，即sin(2A?)?1，所以2A??2k??(k∈Z)，
662?因为0?A??，所以A?．
313bc?3，所以bc?4， 因为S?bcsinA?2422a?b?c2?2bccosA，得16?b2?c2?bc， 根据余弦定理
所以(b?c)2?16?3bc?28，所以b?c?27． ························································ 12分 18.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝(n?1)?2n?1?2， 则n?2时，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝(n?2)?2n?2， 两式相减，得anbn＝n·2n(n≥2)，
当n＝1时，a1b1＝2，满足上式，所以anbn＝n·2n(n?N*)，
又因为{bn }是首项为1，公比为2的等比数列，则bn＝2n?1，所以an＝2n， 故数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
n(2?2n)所以Sn?····················································································· 6分 ?n2?n． ·
2n?2n(Ⅱ)设{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由(Ⅰ)得bn?， ················· 7分
a1?(n?1)dbn?1(n?1)?2n?1a1?nd?d??则 ·················································································· 8分 bna1?ndn?2n2(n?1)(a1?nd?d)?
n(a1?nd)n(a1?nd)?a1?nd?nd?d?2?
n(a1?nd)a1?d?2[1?]．
n(a1?nd)2n故当d?a1时，数列{bn}是等比数列，公比为2，此时an＝na1，bn?； ············· 10分
a1当d?a1时，数列{bn}不是等比数列． ········································································ 12分 19.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)F是AB的中点，证明如下：
连结DF，又因为D、E分别是BC、A1C1的中点，
11∥A1C1，且A1E＝A1C1， 所以DF∥AC，又AC=2=2则DF∥AE，故四边形AFDE是平行四边形， 1=1
所以DE∥A1F，又A1F?平面A1CF，DE?平面A1CF， 所以DE∥平面A1CF． ································································································· 4分 (Ⅱ)由题∠AA1B1＝60°，设A1A＝2，则A1B1＝1， 所以AB1?22?12?2?2?1?cos60?3， 则AB12?A1B12?A1A2，所以A1B1⊥AB1， 过点B1作平面A1B的垂线B1z，分别以B1A1，B1A，B1z的方向为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系．
由f(x)?0，得2x???k?(k∈Z)，则x?资阳高三数学（理科）试卷 第7页（共4页）
131有A1(1,0,0)，A(0,3,0)，C(?,3,)，F(?,3,0)，
222333则A1A?(?1,3,0)，A1C?(?,3,)，FC?(0,0,)，
222设平面A1CF，平面A1AC的法向量分别为m?(x1,y1,z1)，n?(x2,y2,z2)，
3105， 3553105所以二面角A－A1C－F的余弦值为． ···························································· 12分
3520．（本小题满分13分）
??3?x?3y1???0,??21?m?AC1由?即???3z?0,?m?FC?0,1??2?3?n?AC?0,??x?3y2??1由?即?22??n?A1A?0,??x?3y?0,?22m?n33?所以cosm?n?|m|?|n|7?3z1?0,2取m?(2,3,0)， 3z2?0,取n?(3,1,1)， 2(x?2)2?y22解析：(Ⅰ)设动点P(x,y)，则， ?|x?4|2x2y2化简得?··································································································· 4分 ?1． ·
842(Ⅱ)由(Ⅰ)，轨迹?是以F(2,0)为焦点，离心率为的椭圆，如图，连结OM、ON，设
2直线MN方程为x?my?2，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，
?x?my?2,?联立?x2y2消去x，得(m2?2)y2?4my?4?0，
?1,??4?84m4则y1?y1??2，y1y1??2，
m?2m?2所以4m21642?m2?1|y1?y2|?(y1?y2)?4y1y2?(?2)?2?，
m?2m?2m2?2由于M，N均在y轴右侧，则x1?0，x2?0，且0?|m|?1，
11则S?S?OAM?S?OBN?S?OMN??2(x1?x2)??2|y1?y2|?m(y1?y2)?4?|y1?y2|
222224m42?m?142?m?1?8??2?4??， ··················································· 8分
m?2m2?2m2?242?t?842(t?2)?令t?m2?1，则1?t?2，则S? t2?1t2?1【或利用S?S?ABN?S?AMN求面积S，解法如下：
2?4m?42?m2?18?42m?m2?1y2?，则x2?my2?2?，
2(m2?2)2(m2?2)211|2m?2|8?42m?m2?11242?m?12m?2S?|AB|?x2?|MN|? ?2???1?m??2222222(m?2)2m?21?m1?m资阳高三数学（理科）试卷 第8页（共4页）
