函数与导数二轮复习建议
南师大附中 孙居国 徐昌根
函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题．通过对江苏及全国各地的高考题的分类研究，对高考函数与导数问题有如下认识 一．《09考试说明》对函数与导数的要求： 要 求 内 容 A B C 函数的有关概念 函数的基本性质 指数与对数 函数概念与基 指数函数的图象和性质 本初等函数 对数函数的图象和性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 导数的概念 导数的几何意义 导数及其应用 导数的运算 导数在实际问题中的应用 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 利用导数研究函数的单调性和极大（小）值 √ 二．考查函数的基本知识，如定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等．有的考题只考查函数的某一个方面的知识，而有的则体现出对函数知识的综合考查，常常涉及数形
结合、特殊与一般（特殊化与一般化）、存在性与全称性问题等思想与方法． 1．考查函数的三要素（定义域、值域、解析式）．
x（1）函数f(x)＝1?2的定义域是 （－∞，0] ．
（2）函数f(x)?11?x2,(x?R)的值域是 (0,1 ] ．
x?1??2e,x＜2，（3）设f(x)??则f(f(2))的值为 2 ． 2??log3(x?1)，x?2.（4）若函数f(x)?(x?a)(bx?2a)（常数a，b?R）是偶函数，且它的值域为4?，则该函数的解析式???，f(x)? ?2x?4 ．
22．考查函数的性质（单调性，奇偶性，对称性，周期性，最值等）． （1）已知函数f?x??a?12?1x,若f?x?为奇函数，则a?____
12____.
（2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)<0
的x的取值范围是 (?2,2) ．
（3）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 0 ． （4）函数f(x)=
xx?1的最大值为
12 ．
（5）（07年江苏）设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x?1对称，且当x≥1时，f(x)?3x?1，则f?3．考查抽象函数
?2??3??1??1??2??3?的大小关系是 f?f?f,f,f?????? ．??????3??2??3??3??3??2?（1）定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy（x，y?R），
f)1(2?，则f(?2)等于 2 ．
132（2）函数f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则f?99??
4．考查函数性质的综合运用．
．
（1）若不等式x2?ax?1?0对于一切x?(0,)成立，则a的最小值是 -2152 ．
（综合考查一元二次不等式，数形结合，恒成立的不等式，分离变量的方法等） （2）函数f(x)??12x?x定义域为?m,n?，值域为?2m,2n?，m?n，则m?n?_－2__．
23（3）若函数f(x)?loga(x?ax) (a?0,a?1)在区间(?12,0)内单调递增，则a的取值
范围是 [,1) ．
43（综合考查函数的定义域，函数的单调性等） （4）方程2?x?x?3的实数解的个数为 2 .
2（考查函数的图像，二分法等） （5）（07年江苏）设f(x)?lg?(?1，0 ) ．
???a?是奇函数，则使f(x)?0的x的取值范围是 ?1?x?2（6）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③
x1?x22f(x1)?f(x2)2f(x1)?f(x2)x1?x2>0；
④f()?.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ② .
（7）设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1?D，存在唯一的x2?D，使
f(x1)?f(x2)2?C(C为常数）成立，则称函数f(x)在D上均值为C，给出四个函数①
x3则满足在其定义域上均值可以为2的y?x ②y?4sinx ③y?lgx ④y?2．
函数是 ①③ ．（把你认为符合条件的函数的序号填上）
三．导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常常运用导数确定函数的单调性，进而研究函数的最值、极值，方程及不等式的解等．
1．考查导数的意义，运用导数求极值，单调性，最值． （1）二次函数y?f(x)的图象过原点且它的导函数y?f'(x)的图象是如图所示的一条直线，则y?f(x)图象的顶点在第 一 象限．
（考查导数的几何意义，数形结合等）
3?上（2）（07年江苏）已知函数f(x)?x3?12x?8在区间??3，的最大值与最小值分别为M，m，则M?m?___32__．
（3）（08年江苏）f(x)?ax3?3x?1对于x???1,1?总有f(x)?0成立，则a= 4 ． （4）（07年江苏）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c的导数为f?(x)，f?(0)?0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则
f(1)f?(0)的最小值为 2 ．
2．运用导数求切线，包括由切点求切线，由经过点求切线． （1）（08江苏）直线y?12x?b是曲线y?lnx(x?0)的一条切线，? 1．则实数b? ln2
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 (1, e) ．
（由曲线外一点求切线，关键是先设切点，由切点写切线，再过定点定参数） 3．主动构造函数解题．
(1)已知函数f(x),x?R满足f(2)?3，且f(x)在R上的导数满足f(x)?1?0，则不
)等式f(x)?x?1的解集为__ (??,?2?22/(2?,?) __. （构造函数g(x)?f(x)?x）
3（2）函数f(x)?x?x,x?R，当0????2时，f(msin?)?f(1?m)?0恒成立，则
实数m的取值范围是 (??,1) ．
（撇开函数的具体解析式，利用函数的奇偶性和单调性解决问题） 四．应用题，探索性考题． 1．函数应用题．
（1）某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为
11m?1 ．
（2）一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒． s'(t)?2t?1,s'(3)?2?3?1?5
2．探索性问题．所谓探索性，指这类问题的指向不明确，需要通过尝试、类比、联想、一般化与特殊化等手段摸索解题思路．
(1)若f(n)为n2?1(n?N*)的各位数字之和，如142?1?197，1?9?7?17，则；记f1(n)?f(n)，f2(n)?f(f1(n))，…，fk?1(n)?f(fk(n))，k?N，则f(14)?17f2008(8)? 11 ；
*(通过尝试，发现周期性的规律解决问题，本题属于中等题) （2）规定记号“?”表示一种运算，即a?b?函数f?x??k?x的值域是___(1,??)____
ab?a?b，a、b?R? 若1?k?3，则
（研究新定义的运算的规律解题，本题属于中等题）
（3）半径为r的圆的面积S(r)＝?r,周长C(r)=2?r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 (?r2)`＝2?r ○
1的式子： 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○2，○2式可以用语言叙述为： ． ○解：V球＝
432
?R，（又
3432式可填?＝4?R 故○?R）（3243?＝4?R，?R）用语言叙述为“球
32的体积函数的导数等于球的表面积函数．”
（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）
（4）已知函数f(x)?2x?(4?m)x?4?m，g(x)?mx，若对于任一实数x，f(x)与
g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 (??,4 ) ．
2（考查对存在性与全称性问题的认识，本题属于难题）
（5）已知奇函数f(x)满足：1）定义在R上；2）f(x)?a（常数a?0）；3）在(0,??)上单调递增；4）对任意一个小于a的正数d，存在一个自变量x0，使f(x0)?d． 请写出满足以上所有条件的一个函数的解析式： ．
