（Ⅰ）用a和n表示f（n）； （Ⅱ）求对所有n都有
成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线
与的大小，并说
与x轴正半轴相交于点A，∴A（）
对求导得y′=﹣2x
∴抛物线在点A处的切线方程为，∴
n
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a，则
n
3
n
成立的充要条件是a≥2n+1
＞2n+1
3
n3
即知，a≥2n+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥
nn
当a=，n≥3时，a＞4=（1+3）
n
≥1+=1+2n+
3
当n=0，1，2时，
∴a=时，对所有n都有
；
k
成立
∴a的最小值为
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a，下面证明：
首先证明：当0＜x＜1时，
设函数g（x）=x（x﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=
时，g′（x）＞0
2
x（x﹣）
当0＜x＜时，g′（x）＜0；当
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0 ∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴
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由0＜a＜1知0＜a＜1，因此
k
，
从而=≥=
＞
=
16．（2011?四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣F′（x）=当x∈（0，当x∈（
，令F′（x）=0，得x=）时，F′（x）＜0；
．
（x≥0）知，
，+∞）时，F′（x）＞0． ）时，F（x）是减函数；
故x∈（0，故x∈（
，+∞）时，F（x）是增函数．
处有极小值且F（
）=．
F（x）在x=
（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x）， 即log2（x﹣1）+log2
=log2
，
??
①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3
； ；
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③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当a≤1或a＞5时，原方程无解．
（Ⅲ）设数列 {an}的前n项和为sn，且sn=f（n）g（n）﹣ 从而有a1=s1=1． 当2＜k≤100时， ak=sk﹣sk﹣1==[（4k﹣3）
﹣（4k﹣1）
，ak﹣]
==
即对任意的2＜k≤100，都有ak＞又因为a1=s1=1，
所以a1+a2+a3+…+a100＞故f（100）h（100）﹣
＞0． ．
=h（1）+h（2）+…+h（100）．
＞．
17．（2011?陕西）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g（x）与
的大小关系；
（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，
∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，
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当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1）， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞）， 因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， ∴最小值为g（1）=1； （Ⅱ）
=﹣lnx+x，
=2lnx﹣x+，
设h（x）=g（x）﹣
则h′（x）=，
当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0， 因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减， 当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜
， ，
（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一 假设存在x0＞0， 使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0， 有
，（*）但对上述x0，取
时，
有 Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜ 成立． 证法二 假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立． 由（Ⅰ）知，又
的最小值为g（x）=1． ＞Inx，
而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），
∴x≥1 时，g（x） 的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1， 使 g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1， 故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞
，与假设矛盾．
∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．
18．（2011?四川）已知函数f（x）=x+，h（x）=
2
2
．
（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]，求F（x）的单调区间与极值；
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