必修五 数学专题
第五讲：等比数列（二）
知识要点：
一、等比数列的前n项和：
?na1,q?1?. 设等比数列?an?的首项为a1，公比为q?q?0?，则Sn??a1?1?qn?,q?1?1?q?由等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知a1,q,n,an,Sn中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.
二、等比数列和的性质：
设等比数列?an?中，首项为a1，公比为q?q?0?，则
（1）连续m项的和仍组成等比数列，即a1?a2???am,am?1?am?2???a2m,a2m?1?a2m?2???a3m,仍为等比数列（即Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?成等差数列）； （2）当q?1时，Sn?a1?1?qn?1?q?a1aaaa??1?qn??1?1?qn?1?qn?1， 1?q1?q1?qq?1q?1设
a1?t，则Sn?tqn?t. q?1典型例题：
【例1】（10年北京卷16题）已知?an?为等差数列，且a3??6,a6?0. （1）求?an?的通项公式；
（2）若等比数列?bn?满足b1??8,b2?a1?a2?a3，求?bn?的前n项和Tn.
【例2】等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S1,S3,S2成等差数列. （1）求?an?的公比q; （2）若a1?a3?3,求Sn.
【例3】（10年广东卷4题）已知数列?an?为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3?2a1,且a4与2a7的
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【例4】等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为( )
【例5】若等比数列?an?的公比q?0，前n项和为Sn，则S8a9与S9a8的大小关系是________.
【例6】（10年重庆卷16题）已知?an?是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为?an?的前n项和. （1）求通项an及Sn；
（2）设?bn?an?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列?bn?的通项公式及前n项和.
【例7】设数列?an?满足log2an?1?1?log2an,且a1?a2???a10?10,则a11?a12???a20?____.
【例8】09年陕西卷21题）已知数列?an?满足a1?1,a2?2,an?2?（1）令bn?an?1?an,证明：?bn?是等比数列； （2）求?an?的通项公式.
A．54
B．64
2
C．66
3
2D．60
3
5，则S5=_____. 4an?an?1,n?N?. 2- 14 -
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强化训练：
1、已知数列?an?为等比数列，若a1?a2?a3?18,a2?a3?a4??9,则前7项的和S7?_____. 2、（10年浙江卷5题）设Sn是等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0,则S5?___. S23、设Sn为等比数列?an?的前n项和， 若S10?10，S20?30，则S30=______.
4、各项均为正数的等比数列?an?的前n项和为Sn ，若Sn?2，S3n?14，则S4n=______.
5、等比数列?an?的前n项和为Sn,
S61S?,则9?____. S32S61的等比数列，则m?n?____. 26、已知方程(x2?mx?2)(x2?nx?2)?0的四个根组成一个首项为
7、（10年陕西卷16题）已知?an?是公差不为零的等差数列，a1?1,且a1,a3,a9成等比数列. （1）求?an?的通项公式； （2）求数列2
8、（09年安徽卷19题）已知数列?an?的前n项和Sn?2n2?2n,数列?bn?的前n项和Tn?2?bn. （1）求?an?与?bn?的通项公式；
2（2）设cn?anbn，证明：当且仅当n?3时，cn?1?cn.
??的前n项和Sann.
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第六讲：数列求和
知识要点：
一、常用求和方法：
1.公式法
直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解. 2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减. 3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和. 4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子得到qSn?a1q?a2q???an?1q?anq，Sn?a1?a2???an?1?an的两边同乘以公比q(q?0且q?1)，两式错位相减整理即可求出Sn.
二、常用公式：
1、平方和公式：1?2???n?1??n?2222n?n?1??2n?1?
622?n?n?1??3331?2???n?1?n?2、立方和公式：1?2???n?1??n????????2?
??33、裂项公式：
11111?11??分式裂项：??; ????? ?n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k??.? 111?根式裂项：?n?1?n; ??n?k?n?kn?n?1n?n?k???典型例题：
【例1】若数列?an?的通项公式为an?2n?2n?1，则数列?an?的前n项和为( )
【例2】求数列1?4,2?5,3?6，?，n?n?3?,?的前n项和Sn.
A．2?n?1
n2B．2n?1?n2?1
C．2n?1?n2?2
D.2?n?2
n2
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