则△PMH为等腰直角三角形, ∴PH=
PM,
当PM最大时,PH最大,
∴当点P在抛物线顶点处时PM取最大值,此时PM=6, ∴PH的最大值为6
,即PD+DQ的最大值为6;
②由①可知PD+DQ≤6,
设PD=a,则DQ≤6
-a.
设点P的坐标为(n,n2
-4n), 设AC的解析式为y=k?x+b?， 将点A和点C的坐标代入得，解得
，
则直线AC的解析式为y=-x+4， 如图所示，延长PM交AC于点N，
33
∴PD=a=又∵-
PN=[4-n-（n2-4n）]=--3n-4）=- （n2+（n-）2 ，
<0,0 16．问题提出 [来源:]（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）． 问题探究 （2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值． 问题解决： （3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标． ②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值． 34 【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，②9；（3）P（2﹣，）（4）AC的最大值为2+2 【解析】试题分析：（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果； （3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2 +3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论； （4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC=4 =定值，∠BDC=90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动， 由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大； 试题解析：解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b．故答案为：CB的延长线上，a+b； （2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB．在△CAD与△EAB中，（SAS），∴CD=BE； ②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9； ，∴△CAD≌△EAB 35 （4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM．∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM．∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可．∵BC=4 = 定值，∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2 +2 ，∴AC的最大值为2 +2 ． ?,AB?2，连接AC． 17．如图14，AB是eO的直径，?AC?BC （1）求证：?CAB?450； （2）若直线l为eO的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD?AB,BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD． ①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论； EB是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． CDBE?2 【答案】（1）详见解析；（2）①AE?AD ②CD②【解析】 36
