苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷
注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：锥体的体积公式：V?1Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高． 3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置． ．．．．．．．1．已知集合A?{0,a}，B?{0,1,3}，若AUB?{0,1,2,3}，则实数a的值为 ▲ ． 2．已知复数z满足z2??4，若z的虚部大于0，则z? ▲ ． 3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h以下的汽车有 ▲ 辆． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 ▲ ．
S←1 y 频率 I←1 组距 A 0.04 While I?5 2 0.03 S←S＋2
0.02 I←I＋1 O x 0.01 End While -2
B 50 60 70 80 90 速度(km/h) Print S
(第5题) （第3题） （第4题）
5．函数f(x)?2sin(?x+?)(??0)的部分图象如图所示，若AB= 5，则?的值为 ▲ ．
6．若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为 ▲ ．
x2y227．抛物线y?4x的焦点到双曲线??1渐近线的距离为 ▲ ．
1698. 已知矩形ABCD的边AB?4，BC?3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC?平面BAC， 则三棱锥D?ABC的体积为 ▲ ． 9．若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1?a2?L?a13)=13，等差数列{bn}满足b7?a7，则b1+b2?L?b13的值为 ▲ ．
10.定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)?log2(2?x)?(a?1)x?b（a,b为常数）.若f(2)??1，则f(?6)的值为 ▲ ．
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur|OA|=|OB|=2|OA?CB|=1|OC|的取值范围是 ▲ ． 11.已知，且OA?OB=1．若点C满足，则
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?2x+cosx,x≥0,?12.已知函数f(x)??若关于x的不等式f(x)??的解集为(??,)，则实
2?x(a?x),x?0．数a的取值范围是 ▲ ． 13.已知点A(0,1)，B，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t（1,0）的值为 ▲ ． bc14.已知正数a，b，c满足b?c≥a，则?的最小值为 ▲ ． ca?b二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．．．．
过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA?（1）求tanB的值； （2）若b?5，求c.
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：
P （1）PB//平面EAC；
（2）平面PAD⊥平面ABCD．
E
17．（本小题满分14分）
D A （第16题）
31，tan(A?B)??. 52C
B 如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45?方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线
C．为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元／百米、40万元／百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则
42设PM?x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万(1≤x≤9)模型，
x2元 ．题中所涉及长度单位均为百米． （1）求f(x)的解析式；
（2）当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．
y 曲线C符合函数y=x+A C M P N O （第17题） 西 B 北 东
x 南
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18．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的数列?an?的首项a1?1，Sn是数列?an?的前n项和，且满足：
anSn?1?an?1Sn+an?an?1??anan?1???0,n?N*?．
（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数?的值； （2）若??
1
，求Sn． 2
19．（本小题满分16分）
x2y21如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?，左顶点为
ab2A(?4，0)，过点A作斜率为k(k?0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E． （1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k?0)都有OP?EQ？若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求
20．（本小题满分16分）
AD?AE的最小值．
OMy E D P M A O x （第19题）
?1?已知函数f(x)?ex?x3?2x2?(a?4)x?2a?4?，其中a?R，e为自然对数的底数．
?3?（1）若函数f(x)的图象在x?0处的切线与直线x?y?0垂直，求a的值；
43（3）讨论函数f(x)极值点的个数．
（2）关于x的不等式f(x)??ex在(??，2)上恒成立，求a的取值范围；
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21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T， 与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．
B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
（第21-A题）
?12?已知矩阵A???，求矩阵A的特征值和特征向量． ?14??
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为?2?8?sin(??)?13?0，已知A(1,?33?)， 2B(3,3?)，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值． 2
D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x?1≥2y?3错误!未找到引用源。．
x2?2xy?y2
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 ．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC?1，AA1?2，点P是棱BB1uuuruuur上一点，满足BP??BB1(0≤?≤1).
（1）若?=，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；
132?B（2）若二面角P?AC的正弦值为，求?的值. 13
23. （本小题满分10分）
已知数列{an}满足an?3n?2，f(n)? （1）求证：g(2)?B1 A1
C1
P
A B
C
（第22题）
111??L?，g(n)?f(n2)?f(n?1)，n?N*. a1a2an1； 31. 3 （2）求证：当n≥3时，g(n)?S 数学I试卷 第 4 页(共 12 页)
