合格 不合格 总计 男 女 总计 （Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为X，求X的分布列及数学期望. 附：
P?k2?k0? 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 22.706 3.841 6.635 10.828 n(ad?bc)2K? n?a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)【答案】（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，【解析】 【分析】
4 3360?3.956?3.841得到答案. 91182（Ⅱ）X?0,1,2，计算P(X?0)?，P(X?1)?，P(X?2)?，得到分布列，再计算数学期
15155（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算K?2望得到答案. 【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得： 合格 不合格 总计 男 10 10 20 女 16 4 20 总计 26 14 40 40(10?4?10?16)2360K???3.956?3.841，
26?14?20?20912故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2
2人，基本事件总数为C6?15，X?0,1,2
2112C2C4C28C4162P(X?0)??，P(X?1)??，P(X?2)???，
1515151515155X P 0 1 2 1 158 152 5E(X)?0?1?1?8?2?64?.
153【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力. 18．已知函数f(x)?x|x?a|,a?R． （1）若f?1??f??1??1，求a的取值范围； （2）若a?0，对?x,y?(??,?a]，不等式f(x)?y?3a?y?恒成立，求a的取值范围． 42???；【答案】（1）?，（2）??3,0?.
【解析】 【分析】
（1）分类讨论a??1，?1?a?1，a?1，即可得出结果； （2）先由题意，将问题转化为f(x)max?(y?最小值，解不等式即可得出结果. 【详解】
（1）由f?1??f??1??1得a?1?a?1?1， 若a??1，则?1?a?a?1?1，显然不成立； 若?1?a?1，则1?a?a?1?1，a??1?2??3a3a?y?)min即可，再求出f(x)max，y??y?的424211，即＜a＜1；
22若a?1，则1?a?a?1?1，即2?1，显然成立，
???． 综上所述，a的取值范围是?，3a?y?)min， 42?1?2??（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需f(x)max?(y?当x?(??,?a]时，f(x)??x(x?a)，所以f(x)max2?a?a?f????；
24??因为y?3a3a?y???， 4242a23a所以??，解得?3?a?1，结合a?0，
442所以a的取值范围是??3,0?． 【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.
19．为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与B市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2m，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为
1. 2（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： 喜欢杨树 喜欢木棉树 A市居民 300 250 B市居民 200 250 是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为M，求证：
3M…m(m?1)(m?2).
n(ad?bc)2 附：K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P?K2…k? 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k 【答案】（1）没有（2）分布列见解析，E(X)?2（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..
（2）根据题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.
m(m?1)(m?2)，即证8，即m…4.要证3M…（3）因为至少8个的偶数个十字路口，所以2m…m(m?1)(m?2)3kk2CmM…，根据组合数公式，即证M…；易知有Cm?1?Cm.成立.设2m个路口中有
333p(p?N,p?2m)个路口种植杨树，下面分类讨论①当p?{0,1,2}时，由M?C2C2m?p…m?2论证.②当3333p?{2m?2,2m?1,2m}时，由M?Cp剟p2m?3时，M?Cp…C2?C2m?2论证.③当3m?p，设
333f(p)?Cp?C2剟p2m?3，再论证当p?m 时，f(p)?C3?Cm?p,3p2m?p取得最小值即可.
【详解】
1000?(300?250?200?250)2（1）本次实验中，K??10.1?10.828，
500?500?550?4502故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性. （2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，
141?1?3?1?故P(X?0)?????P(X?4)，P(X?1)?C4???P(X?3)， ???2?16?2?16463?1?P(X?2)?C2?? 4??2168??X P 故E(X)?4?0 1 2 3 84443 4 1 161?2. 21 41 41 16m(m?1)(m?2)，即证M…2Cm； 8，∴m…4.要证3M…（3）∵2m…首先证明：对任意m,k?N*,m…k，有Cm?1?Cm. 证明：因为Cm?1?Cm?Cm?0，所以Cm?1?Cm. 设2m个路口中有p(p?N,p?2m)个路口种植杨树， ①当p?{0,1,2}时，
33M?C2C2m?p…m?2?kkk?1kkkk3(2m?2)(2m?3)(2m?4)(m?1)(m?2)(2m?3)?4?，
664，所以2m?3?m， 因为m…于是M?4?m(m?1)(m?2)33?4Cm?2Cm.
6333C2m?2，同上可得M?2Cm②当p?{2m?2,2m?1,2m}时，M?Cp… 3333p2m?3时，M?Cp?C2剟p2m?3， ③当3剟m?p，设f(p)?Cp?C2m?p,3
