答案 ②③④
解析 对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i， ①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；
②α1－i?1－i??1－i?－2iβ＝1＋i＝?1＋i??1－i?＝2
＝－i，故②正确； ③??α?β???
＝|－i|＝1，故③正确； ④α2
＋β2
＝(1－i)2
＋(1＋i)2
＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确． 故正确的结论是②③④.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练1(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝3＋ai，z·z＝4，则a＝________. 答案 1或－1
解析 由题意得z＝3－ai， 故z·z＝3＋a2
＝4，解得a＝±1.
2
(2)已知复数a＋bi＝?1－i?
1＋i(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
答案 －2
解析 由复数的运算法则，可得
?1－i?2
－2i－2i?1＋i＝1＋i＝1－i??1＋i?(1－i)＝－2i－2
2＝－1－i， 结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1， 据此可得a＋b＝－2.
9
题型三 复数的几何意义
例4(1)复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于第________象限．答案 四
解析 ∵(2＋i)z＝|3－4i|＝9＋16＝5，
∴(2－i)(2＋i)z＝5(2－i)，5z＝5(2－i)，z＝2－i，
z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限．
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①→AO，→
BC所表示的复数； ②对角线→
CA所表示的复数； ③B点对应的复数．
解 ①∵→AO＝－→OA，∴→
AO所表示的复数为－3－2i.
10
→→→
∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i. →→→→
②∵CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→→③OB＝OA＋AB＝OA＋OC，
→
∴OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
5i跟踪训练2(1)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数z对应的点在第________
3＋4i象限． 答案 四
5i·(3－4i)5i43
解析 ∵z＝＝＝＋i，
3＋4i(3＋4i)·(3－4i)5543
∴z＝－i，则z的共轭复数z对应的点在第四象限．
55
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐→→→
标原点，若OC＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________． 答案 5
解析 由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)， →→→∵OC＝xOA＋yOB，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
??－x＋y＝3，∴?
?2x－y＝－2，?
??x＝1，
解得?
?y＝4，?
故x＋y＝5.
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1．已知复数zz11＝6－8i，z2＝－i，则z＝________. 2
答案 8＋6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴z16－8i?6－z＝＝8i?i2
＝8＋6i. 2－i－i
2．若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|＝________. 答案 1
解析 由题意可得z＝2＋i1＋2i，
则|z|＝?
?2＋i?＝|2＋i|?1＋2i??|1＋2i|＝55
＝1.
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