?0??1A??1??1?(ii)
101111011??1?;1??0??
?1??1A???1??1?(iii)1?11??421?.?24?1?1?1?1??
3．写出二次型
??|i?j|xxii?1j?133j的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价
的二次型，使后者只含变量的平方项．
4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件A???A． (i)A必与如下形式的一个矩阵合同：
0??01???10???????01?????10????0??????00???
(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．
(iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．
§5.2 复数域和实数域上的二次型
1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得
S?A?A．
2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：
?O??I?v?O?Iv??,若n?2v;?IvO???O?IvOOO??O?,若n?2v?1.1??
3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：
?O??Iv?O?IvOOO??O??O?或?Iv?In?2v???OIvOO??O?.?In?2v?? O4．证明，一个实二次型q(x1,x2,?,xn)可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．
5．令
?543??40?6?????A??453?,B??010?.?332???609?????
证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得P?AP?B．
6．确定实二次型x1x2?x3x4??x2n?1x2n的秩和符号差． 7．确定实二次型ayz?bzx?cxy的秩和符号差．
8．证明，实二次型§5.3 正定二次型
??(?ij?i?j)xxii?1j?1nnj(n?1)的秩和符号差与?无关．
1．判断下列实二次型是不是正定的:
222(i)10x1?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3; 222(ii)5x1?x2?5x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3.
2．?取什么值时,实二次型
222?(x12?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x3x1?x4
是正定的.
3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数t,使得tI?A是正
定的.
4．证明,n阶实对称矩阵A?(aij)是正定的,必要且只要对于任意
1?i1?i2???ik?n,,k阶子式
ai1i1ai2i1?aiki1ai1i2ai2i2?aiki2?ai1ik?ai2ik?0,k?1,2,?,n.???aikik
5．设A?(aij)是一个n阶正定实对称矩阵.证明
detA?a11a22?ann
当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.
[提示:对n作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]
6．设A?(aij)是任意n阶实矩阵.证明
22(detA)??(a12j?a2j???anj)2j?1n(阿达马不等式).
[提示:当detA?0时,先证明A'A是正定对称矩阵,再利用习题5.] §5.4 主轴问题
'1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得UAU具有对角形式:
?ab??A????ba(i)??;
?2?1?1???A???12?1???1?12?(ii)??;
0??5?20???2200??A??005?2????0?22?(iii)?0?
2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得
A?S2．
3．设A是一个n阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得A?US．
[提示: A'A是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得A'A=S.再看一下U应该怎样取．]
4．设{Ai}是一组两两可交换的n阶实对称矩阵.证明,存在一个n阶正交矩阵
'UU,使得AiU都是对角形矩阵.
2
第六章 向量空间
§6.1 定义和例子
1．令F是一个数域，在F3里计算
11（i）3（2，0，-1）+（-1，-1，2）+2（0，1，-1）； 1（ii）5（0，1，-1）-3（1，3，2）+（1，-3，1）．
2．证明：如果
a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），
那么a = b = c = 0．
3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得
a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）．
4．令?1 = （1，0，0），?2 = （0，1，0），?3 =（0，0，1）．证明，R3中每一个向量?可以唯一地表示为
? = a1?1 + a2?2 + a3?3
形式，这里a1，a2，a3 ? R．
5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立： （i）a (???) = a?- a?；
(ii) (a- b) ?= a?- b?, 这里a，b?F ，?,??V．
6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．
