方法与技巧
1． 可以根据定义判断或证明函数的单调性． 2． 求函数的单调区间
首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、 二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性 质；利用导数的性质． 3． 复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，
g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增
或减)，
则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范
1． 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分
开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．
2． 两函数f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，
1
fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比.
(时间：60分钟) A组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是 ( )
A．y＝1－x B．y＝x＋2x C．y＝
1x D．y＝ 1＋xx－1
2
2
答案 A
解析 ∵y＝1－x的对称轴为x＝0，且开口向下，
9
2
∴(－∞，0)为其单调递增区间．
2． (2012·徐州模拟)已知函数f(x)＝2ax＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的
取值范围是 ( )
2
?3??3?A.?0，? B.?0，? ?4??4??3??3?C.?0，? D.?0，? ?4??4?
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；
?4当a≠0时，由?a>0－
?
a－3≥34a
?
3
，得0 3 综上，a的取值范围是0≤a≤. 4 3． 已知f(x)＝?a x>1?4－?x＋2 x≤1?2?? 数 ， 则 实 数 ? xa? 值 是R上的单调递增函 范 围 a的取为 ( ) A．(1，＋∞) B．[4,8) C．(4,8) D．(1,8) 答案 B 解析 因为f(x)是R上的单调递增函数， 所以可得?a>1，4－>0，a≥4－＋2. 22? ? aa a解得4≤a<8，故选B. 点评 本小题的易错点：易忽视条件a≥4－＋2的应用． 2 11x＋1 4． 给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2，其中在区间(0,1)上单 22调递 减的函数的序号是 ( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案 B 1 解析 ①函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数； 2 1 ②y＝log(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减函数；③y＝|x－1| 2 10 在(0,1) 上为减函数；④y＝2 x＋1 在(－∞，＋∞)上为增函数，故在(0,1)上也为增函数． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． f(x)＝x－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 答案 [1,4] 8 解析 函数f(x)的对称轴：x＝1，单调增区间为[1,4]， 2 f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 6． 函数f(x)＝ln(4＋3x－x)的单调递减区间是__________． 2 ?3?答案 ?，4? ?2? ?3?2252 解析 函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x＋3x＋4＝－?x－?＋的减区间为 ?2?4?3，4?，∵e>1， ?2??? ?3?∴函数f(x)的单调递减区间为?，4?. ?2? 7． 若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是____________． 答案 a>0且b≤0 解析 要使f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则a>0且x－b≥0恒成立，即b≤x，∴b≤0. 三、解答题(共25分) 11 8． (12分)已知函数f(x)＝－ (a>0，x>0)， ax(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； ?1??1?(2)若f(x)在?，2?上的值域是?，2?，求a的值． ?2??2? (1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0， ?11??11?∵f(x2)－f(x1)＝?－?－?－? ?ax2??ax1? 11x2－x1 ＝－＝>0， x1x2x1x2 ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． ?1??1?(2)解 ∵f(x)在?，2?上的值域是?，2?， ?2??2??1?又f(x)在?，2?上单调递增， ?2? 11 2?1?1 ∴f??＝，f(2)＝2.∴易得a＝. 5?2?2 9． (13分)已知函数f(x)＝x＋(x≠0，a∈R)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝0时，f(x)＝x(x≠0)为偶函数； 当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0， 2 22 axax1 2 ax1－x2 [x1x2(x1＋x2)－a]， x2x1x2 x1x2>0. 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数， 只需f(x1)－f(x2)<0， 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16. B组 专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 已知函数f(x)＝x－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝间(1， ＋( ) A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 答案 D 解析 由题意知a<1，∴g(x)＝∞) 上 一 2 fx在区x定 fxa＝x＋－2a， xx当a<0时，显然g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当a>0时，g(x)在[a，＋∞)上是增函数， 故在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数． 2． 已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0， x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值 ( ) A．一定大于0 B．一定小于0 12
