2014届高三数学函数与导数测试题（理科）
命题： 彭湘辉 审题： 高养忠 考试时间：2013年8月16日 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合A??0,1,2?，则集合B?x?yx?A,y?A中元素的个数是( )
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
2.设f(x)是周期为2的函数，当0?x?2时，f(x)?2x(1?x),则f(?)?( ) (A) -
211. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x?x，则f(2)? ．
12．若曲线y?ax2?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a? ． 13.已知函数f(x)?ex?2x?a有零点，则a的取值范围是 ．
14.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售
??52限价b(b?a)以及常数x(0?x?1)确定实际销售价格c?a?x(b?a)，这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c?a)是(b?c)和(b?a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_____________. 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．
3111 (B)? (C) (D)?
24243.下列函数中，既是偶函数又在?0,???单调递增的函数是( )
（A）y?x (B) y?x?1 （C）y??x?1 (D) y?24．给定两个命题p,q，
32?x
15．（12分）已知集合A??x|??6??1,x?R?，B??x|x2?2x?m?0?． x?1?若?p是q的必要不充分条件，则p是?q的( )
D．c?a?b
y 0.5（1）当m?3时，求A?(erRB)；（2）若A?B??x|?1?x?4?，求实数m的值．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5.已知a?log23.6,b?log43.2,c?log43.6则( )
A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c
x6.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)?gx()?e，则g(x)=( ) A. e?ex?x B.
?x?x1x11?xD.(e?e) C.(ex?e)(e?ex)
2 2 27.已知函数f(x)?ex?1,g(x)??x2?4x?3,若有f(a)?g(b),则
16．（13分）若函数f(x)?ax3?bx?4，当x?2时，函数f(x)有极值为?4． 3b的取值范围为( )
[1,3] D．(1,3) A．[2?2,2?2] B．(2?2,2?2) C．
8．函数f(x)?ax(1?x)在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（ ） （A）4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.
n2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(x)?k有3个解，求实数k的取值范围．
x O 0.5
1 ?10(ex?2x)dx= ．
1
2
?2x，x?0,10.已知函数f(x)??，若f(a)?f(1)?0,则实数a的值等于 ．
x?1, x?0?
17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/m2、100元/m2， 问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？
（第17题图）
18．（14分）已知函数f(x)?kx?kx?2lnx. （Ⅰ）若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x?5y?2?0，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在(0,??)为增函数，求实数k的取值范围.
19.（14分）定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：
①存在常数a（0?a?1），使得f(a)?1； ②对任意实数m，当x?0时，恒有f(xm)?mf(x)．
（1）求证：对于任意正实数x、y，f(xy)?f(x)?f(y)； （2）证明：f(x)在(0，??)上是单调减函数；
（3）若不等式f?log2x??2??f?log8a?4?a(4?x)?≤3恒成立，求实数a的取值范围．
20．（14分）设函数f(x)?xe2x?c（e?2.71828…是自然对数的底数，c?R）． （Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数．
2
4
2014届高三数学函数与导数测试题（理科）答题卷
班级________ 学号________ 姓名___________成绩___________ 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二.填空题：
9. ；10. ；11. ；12． ；13. ；14. ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分． 15． 16．
17． 18．
3
（第17题图）
6
2014届高三数学函数与导数测试题（理科）参考答案
一．选择题：CDBA BCBD
二.填空题：9. e；10. ?3；11. ?10；12． 12；13. (??,2ln2?2]；14. 5?12 三．解答题：本大题共6小题，满分80分． 15．（12分）已知集合A???x|6?x?1?1,x?R???，B??x|x2?2x?m?0?． （1）当m?3时，求A?(erRB)；（2）若A?B??x|?1?x?4?，求实数m的值． 15．解：A??x|?1?x?5?，（1）当m?3时，B??x|?1?x?3?，则erRB??x|x??1或x?3?，∴A?(erRB)??x|3?x?5?；（2）∵A??x|?1?x?5?，A?B??x|?1?x?4?，
∴ 有42?2?4?m?0，解得m?8，此时B??x|?2?x?4?，符合题意．
16．（13分）若函数f(x)?ax3?bx?4，当x?2时，函数f(x)有极值为?43． （1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(x)?k有3个解，求实数k的取值范围． 16．解：
f?(x)?3ax2?b．
?（1）由题意；?f?(2)?12a?b＝0 ???a?1f(x)?1x3?4x???f(2)?8a?2b?4??4，解得?3，∴所求的
3??b?434． （2）由（1）可得f?(x)?x2?4?(x?2)(x?2)．令f?(x)?0，得 x?2或x??2，
∴当x??2时，
f?(x)?0；当?2?x?2时，f?(x)?0；当x?2时，f?(x)?0．
因此，当x??2时，f(x)有极大值283；当x?2时，f(x)有极小值?43，
∴函数
f(x)?13x3?4x?4的图象大致如图．由图可知：?43?k?283．
17．（13分）请你为某公司设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单 价分别为400元/m2、100元/m2，
问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？
4
（第17题图）
解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为?，且???0， π4?，（2分）
则该仓库的侧面总造价y??2π?5?（5?tan?)??100???1?2?2π?5?5cos?????400
?50π?3+2?sin?cos??，（8分）
由y??50π??2sin??1??cos2????0得sin??12，即??π6，（11分） 经检验得，当??π6时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为533m．（13分）
（法二）设圆锥的高为xm，且x??0， 5?，（2分）
则该仓库的侧面总造价y??2π?5?（5?x)??100??1?2?2π?5?x2??25????400
?150π+10π?2x2?25?x?，（8分）
由y??10π?2xx2?25?1??0得x?533，（11分）
经检验得，当x?533时，侧面总造价y最小，此时圆锥的高度为533m．（13分）
18．（14分）已知函数f(x)?kx?kx?2lnx. （Ⅰ）若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x?5y?2?0，求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数f(x)在(0,??)为增函数，求实数k的取值范围.
k2kx2解：（Ⅰ）∵ f?(x)?k??2x?kx2?x?x2，
可知f?(1)?2k?2??24
5，得k?5
，
所以f?(x)?4x2?10x?45x2?2(2x?1)(x?2)5x2,f(x)的定义域是(0,??)，
故由f?(x)?0得0?x?12,或x?2，由f?(x)?0得12?x?2，
所以函数f(x)的单调增区间是（0，）12,(2,+?)，单调减区间是（12，2）。
（Ⅱ）函数y?f(x)的定义域为函数(0,??)，要使函数函数y?f(x)在其定义域内为单调增
函数，只需函数f?(x)?0在区间(0,??)恒成立.即kx2?2x?k?0在区间(0,??)恒成立.
8
即k?2xx2?1在区间(0,??)恒成立. 令g(x)?2xx2?1，x?(0,??)， g(x)?2x2x2?1??1，当且仅当x?1时取等号，∴ k?1.x?1实数k的取值范围[1,??).
x19.（14分）定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：
①存在常数a（0?a?1），使得f(a)?1； ②对任意实数m，当x?0时，恒有f(xm)?mf(x)．
（1）求证：对于任意正实数x、y，f(xy)?f(x)?f(y)； （2）证明：f(x)在(0，??)上是单调减函数；
（3）若不等式f?log2??2??f?log8a?4?xa(4?x)?≤3恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）证明：令x?am，y?an，则f?am?n??(m?n)f(a)?mf(a)?nf(a)?f(am)?f(an)，
所以f(xy)?f(x)?f(y)，即证；（5分） （2）证明：设?0?x1?xx12，则必?s?0，满足
x?as， 2而f(xs1)?f(x2)?f?x1x??f(a)?sf(a)?s?0，即f(x1)?f(x2)， 2所以f(x)在(0，??)上是单调减函数.（10分）
（3）令t?log(4a?)x0?，则f?t2?2??f?8t?≤3，故f?t2?28t?≤f?a3?，即a3≤18?t?2t?， 所以a3≤122，又0?a?1，故0?a?22．（14分）
20．（14分）设函数f(x)?xe2x?c（e?2.71828…是自然对数的底数，c?R）。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数．
20.解：（Ⅰ）f'(x)?(1?2x)e?2x，由 f'(x)?0，解得x?12，
当 x?12时，f'(x)?0，f(x)单调递增；当 x?12时，f'(x)?0，f(x)单调递减.
所以，函数 f(x)的单调递增区间是(??,12)，单调递减区间是(12,??)，
最大值为f(12)?12e?1?c.
（Ⅱ）令g(x)?lnx?f(x)?lnx?xe?2x?c,x?(0,??).
（1） 当 x?(1,??)时， lnx?0，则g(x)?lnx?xe?2x?c， 所以 g'(x)?e?2xe2xxx?1). 因为 2x?1?0,e2x(?2x?0，所以g'(x)?0, 因此g(x)在(1,??)上单调递增.
（2）当 x?(0,1)时， lnx?0，则g(x)??lnx?xe?2x?c， 所以 g'(x)?e?2x(?e2x22xe2x2xx?2x?1).因为e?(1,e),e?1?x?0，所以?x??1.
又2x?1?1，所以?e2xx?2x?1?0，即g'(x)?0，因此g(x)在(0,1)上单调递减. 综合（1）（2）可知 当 x?(0,??)时，g(x)?g(1)??e?2?c.
当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)没有零点，故方程lnx?f(x)的根的个数为0； 当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时，g(x)只有一个零点，
故关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为1；当g(1)??e?2?c?0，即c??e?2时， ① 当x?(1,??)时，由（Ⅰ）知g(x)?lnx?xe?2x?c?lnx?(12e?1?c)?lnx?1?c，要使
g(x)?0，只需使lnx?1?c?0，即 x?(e1?c,??)；
② 当x?(0,1)时，由（Ⅰ）知g(x)??lnx?xe?2x?c??lnx?(12e?1?c)??lnx?1?c，
要使g(x)?0，只需使?lnx?1?c?0，即 x?(0,e?1?c)；所以 c?e?2时，g(x)有两个零
点，故关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2.
综上所述，当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为0；
当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为1； 当c??e?2时，关于x的方程lnx?f(x)的根的个数为2.
5
10
