111
与两坐标轴围成图形的面积S＝×1×＝.故选C．
224
π
13．若函数f(x)＝xsinx＋1的曲线在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0相互垂直，
2则实数a＝________.
答案 2
πππ?π?解析 因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′??＝sin＋·cos＝1.又直线ax＋2y222?2?＋1＝0的斜率为－，所以1×?－?＝－1，解得a＝2.
2?2?
14．(2019·湖北宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(x)＝f′(1)·2＋x，则f′(2)＝________.
答案
4
1－2ln 2
xx2
a?a?解析 易知f′(x)＝f′(1)·2ln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′222x2
(1)＝，所以f′(x)＝·2ln 2＋2x，所以f′(2)＝×2ln 2＋2
1－2ln 21－2ln 21－2ln 24×2＝.
1－2ln 2
15．(2020·咸阳模拟)若函数f(x)＝x＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________.
答案 －2 y＝1
解析 因为函数f(x)＝x＋(t－1)x－1， 所以f′(x)＝3x＋t－1.
因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，
所以f′(－1)＝3×(－1)＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
16．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.
答案 (e,1)
1
解析 设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)．
2
3
2
3
3
m1
又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝(m＋e)．
m再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1. 故点A的坐标为(e,1)．
17．设函数y＝x－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与
2
2
C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．
解 对于C1：y＝x－2x＋2，有y′＝2x－2， 对于C2：y＝－x＋ax＋b，有y′＝－2x＋a， 设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直． 所以(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1， 即4x0－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，① 又点(x0，y0)在C1与C2上，
??y0＝x0－2x0＋2，故有?2
??y0＝－x0＋ax0＋b2
2
2
2
2
?2x0－(a＋2)x0＋2－b＝0.② 5由①②消去x0，可得a＋b＝. 2
18．已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)．
e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解 (1)f′(x)＝1－x，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′
e(1)＝1－＝0，解得a＝e.
e
11
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋x，f′(x)＝1－x. ee设切点为(x0，y0)，
1
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
ex0
aaaf′(x0)＝1－
1
＝k，② ex0
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e. ∴直线l的方程为y＝(1－e)x－1.
