1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
教学建议 1.教材分析
本部分内容是对导数公式及其导数运算法则的应用的深化,重点是理解简单的复合函数的复合过程,难点是分析复合函数的结构特点,并能求出复合函数的导数.
2.主要问题及教学建议
关于复合函数的导数的教学,建议教师把重点放在引导学生理解简单复合函数的复合过程上,在分析复合函数的结构特点的基础上,再配备几个例题,不必介绍复合函数的严格定义,不要求证明复合函数的求导公式. 备选习题
1.函数y=的导数是( ) A. B.- C. D.
解析:∵y=,
∴y'=' = = ==-. 答案:B
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2.设函数f(x)=x+x+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是( ) A.[-2,2] B.[] C.[,2] D.[,2]
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解析:∵f'(x)=sin θ·x+cos θ·x,
∴f'(1)=sin θ+cos θ=2sin. ∵θ∈,∴sin.
∴f'(1)∈[,2],故选D. 答案:D
3.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.
解:设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
∵y'=,∴y'=2,解之,得x0=1,∴y0=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0).
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d=,即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
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4.抛物线C1:y=x-2x+2与抛物线C2:y=-x+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直. (1)求a,b之间的关系;
(2)若a>0,b>0,求ab的最大值.
解:(1)设两抛物线的交点为M(x0,y0),
由题意知-2x0+2=-+ax0+b, 整理得2-(2+a)x0+2-b=0.①
由导数可得抛物线C1,C2在交点M处的切线斜率分别为k1=2x0-2,k2=-2x0+a.因两切线互相垂直,则有k1k2=-1,即(2x0-2)(-2x0+a)=-1,
整理得2[2-(2+a)x0]+2a-1=0.② 联立①和②,消去x0,得a+b=. (2)由(1)知a+b=,又a>0,b>0, ∴ab≤=( )2=.
当且仅当a=b=时取等号,故ab的最大值为.
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