2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前
n项和模拟演练理
－1－(2
n－1
－1)＝2
n－1
(n≥2)，n＝1时也成立，所以an＝2
21
22
2
n－1
，则an＝2
n22n－2
，所以数列{an}为首
2
项为1，公比为4的等比数列，所以a＋a＋…＋an＝
1×
1－41－44－1＝，故选D.
3
n13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15
＝________.
答案 211
解析 当n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)可以化为(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1＝2，即n>1时，an＋1－an＝2，即数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S15＝a1＋(a2＋…2＋28
＋a15)＝1＋×14＝211.
2
14．数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1). (1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式； (2)设bn＝n，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.
3解 (1)证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)， 解得a1＝1， 由4Sn＝(an＋1)， 得4Sn＋1＝(an＋1＋1)， 两式相减得
4an＋1＝(an＋1＋1)－(an＋1)， 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 因为an>0， 所以an＋1－an＝2，
则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
2
2
22
2
2
anan＝1＋2(n－1)＝2n－1.
2n－1
(2)由(1)得bn＝n，
3
Tn＝1＋2＋3＋…＋
1333532n－1
，① n3
11352n－1
Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1，② 33333①－②得
1?2n－121?11
Tn＝＋2?2＋3＋…＋n?－n＋1
3?333?331?1?1－n－1??9?3?2n－122n＋21
＝＋2×－n＋1＝－n＋1， 31333
1－3
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2019-2020年高考数学一轮总复习第5章数列5.3等比数列及其前
n项和模拟演练理
所以Tn＝1－
n＋1
3
n.
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