知识、考点、题型篇——练透高考必会题型（理）
BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．
第29练 完美破解立体几何证明题
[内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算，其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系．本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题． [典例剖析]
题型一 空间中的平行问题
例1 在如图所示多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1. (1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明．(2)求多面体ABCDE的体积． 题型二 空间中的垂直问题
例2 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(2)若AB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
题型三 空间中的平行、垂直综合问题
例3 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG∥平面PMA；(2)求证：平面EFG⊥平面PDC； (3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比． [精题狂练]
1．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于( ) A．60° B．90° C．30° D．随点E的位置而变化
3．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是( ) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有( )
A．AP⊥△PEF所在平面
B．AG⊥△PEF所在平面
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C．EP⊥△AEF所在平面 D．PG⊥△AEF所在平面
5．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( ) A．①② B．①②③ C．① D．②③
6.如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F－HC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( ) A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台 7.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若
AMAN
＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________． MBND
8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．
9.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． 10．给出命题：
①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件； ④在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行． 其中，正确的命题是________．(只填序号)
11．如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
12．(2014·课标全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．
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知识、考点、题型篇——练透高考必会题型（理）
第30练 空间向量解决立体几何问题两妙招
——“选基底”与“建系”
[内容精要] 向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题．而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系，本节我们就看如何利用这两个手段来解决立体几何问题． [典例剖析]
题型一 选好基底解决立体几何问题
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值． 题型二 建立空间直角坐标系解决立体几何问题
例2 如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 题型三 综合应用问题
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． [精题狂练]
1．下列各组向量共面的是( )
A．a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5) B．a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1) C．a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1,1) D．a＝(1,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1) →→
2.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，→→
AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
11111111
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c
22222222
3．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________． 5.如图所示，正四面体V－ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
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(1)求证：AO、BO、CO两两垂直； →→
(2)求〈DM，AO〉．
6．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值．
7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.
(1)证明：AC＝AB1；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．
8．(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值． 9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝22，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．
(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值； (2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．
10．(2013·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
BD(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
BC1
第31练 空间角的突破方略
[内容精要] 空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在．掌握好本节内容：首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后才是求解这些角． [典例剖析]
题型一 异面直线所成的角
例1 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角． 题型二 直线与平面所成的角
例2 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．
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